Задание 7146
Задание 7146
Катер в $$05$$:$$00$$ вышел по течению реки из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расположенный в $$30$$ км от $$A$$. Пробыв $$2$$ часа в пункте $$B$$, катер отправился назад и вернулся в пункт $$A$$ в $$23$$:$$00$$ того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки $$1$$ км/ч.
1. Общее время с $$05$$:$$00$$ до $$23$$:$$00$$ — $$18$$ часов. С учётом стоянки $$2$$ ч, время движения: $$18 - 2 = 16$$ ч.
2. Пусть собственная скорость катера $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 1)$$ км/ч, против: $$(v - 1)$$ км/ч.
3. Уравнение: $$\frac{30}{v + 1} + \frac{30}{v - 1} = 16$$.
4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{30(v - 1) + 30(v + 1)}{v^2 - 1} = 16$$.
5. $$\frac{60v}{v^2 - 1} = 16 \Rightarrow 60v = 16v^2 - 16$$.
6. $$16v^2 - 60v - 16 = 0 \Rightarrow 4v^2 - 15v - 4 = 0$$.
7. Дискриминант: $$225 + 64 = 289 = 17^2$$.
8. $$v = \frac{15 + 17}{8} = \frac{32}{8} = 4$$ км/ч.
Ответ: $$4$$
Задание 7145
Катер в $$10$$:$$00$$ вышел по течению реки из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расположенный в $$35$$ км от $$A$$. Пробыв $$4$$ часа в пункте $$B$$, катер отправился назад и вернулся в пункт $$A$$ в $$18$$:$$00$$ того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки $$3$$ км/ч.
1. Общее время с $$10$$:$$00$$ до $$18$$:$$00$$ — $$8$$ часов. С учётом стоянки $$4$$ ч, время движения: $$8 - 4 = 4$$ ч.
2. Пусть собственная скорость катера $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 3)$$ км/ч, против: $$(v - 3)$$ км/ч.
3. Уравнение: $$\frac{35}{v + 3} + \frac{35}{v - 3} = 4$$.
4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{35(v - 3) + 35(v + 3)}{v^2 - 9} = 4$$.
5. $$\frac{70v}{v^2 - 9} = 4 \Rightarrow 70v = 4v^2 - 36$$.
6. $$4v^2 - 70v - 36 = 0 \Rightarrow 2v^2 - 35v - 18 = 0$$.
7. Дискриминант: $$1225 + 144 = 1369 = 37^2$$.
8. $$v = \frac{35 + 37}{4} = \frac{72}{4} = 18$$ км/ч.
Ответ: $$18$$
Задание 7147
Катер в $$10$$:$$00$$ вышел по течению реки из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расположенный в $$15$$ км от $$A$$. Пробыв $$1$$ час в пункте $$B$$, катер отправился назад и вернулся в пункт $$A$$ в $$15$$:$$00$$ того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки $$2$$ км/ч.
1. Общее время с $$10$$:$$00$$ до $$15$$:$$00$$ — $$5$$ часов. С учётом стоянки $$1$$ ч, время движения: $$5 - 1 = 4$$ ч.
2. Пусть собственная скорость катера $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 2)$$ км/ч, против: $$(v - 2)$$ км/ч.
3. Уравнение: $$\frac{15}{v + 2} + \frac{15}{v - 2} = 4$$.
4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{15(v - 2) + 15(v + 2)}{v^2 - 4} = 4$$.
5. $$\frac{30v}{v^2 - 4} = 4 \Rightarrow 30v = 4v^2 - 16$$.
6. $$4v^2 - 30v - 16 = 0 \Rightarrow 2v^2 - 15v - 8 = 0$$.
7. Дискриминант: $$225 + 64 = 289 = 17^2$$.
8. $$v = \frac{15 + 17}{4} = \frac{32}{4} = 8$$ км/ч.
Ответ: $$8$$
Задание 7148
Катер в $$07$$:$$00$$ вышел по течению реки из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расположенный в $$63$$ км от $$A$$. Пробыв $$3$$ часа в пункте $$B$$, катер отправился назад и вернулся в пункт $$A$$ в $$14$$:$$00$$ того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки $$4$$ км/ч.
1. Общее время с $$07$$:$$00$$ до $$14$$:$$00$$ — $$7$$ часов. С учётом стоянки $$3$$ ч, время движения: $$7 - 3 = 4$$ ч.
2. Пусть собственная скорость катера $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 4)$$ км/ч, против: $$(v - 4)$$ км/ч.
3. Уравнение: $$\frac{63}{v + 4} + \frac{63}{v - 4} = 4$$.
4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{63(v - 4) + 63(v + 4)}{v^2 - 16} = 4$$.
5. $$\frac{126v}{v^2 - 16} = 4 \Rightarrow 126v = 4v^2 - 64$$.
6. $$4v^2 - 126v - 64 = 0 \Rightarrow 2v^2 - 63v - 32 = 0$$.
7. Дискриминант: $$3969 + 256 = 4225 = 65^2$$.
8. $$v = \frac{63 + 65}{4} = \frac{128}{4} = 32$$ км/ч.
Ответ: $$32$$
Задание 7001
Катер в $$10:00$$ вышел по течению реки из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расположенный в $$40$$ км от $$A$$. Пробыв $$3$$ часа в пункте $$B$$ катер отправился назад и вернулся в пункт $$A$$ в $$16:00$$ того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки $$3$$ км/ч.
1. Общее время с 10:00 до 16:00 — $$6$$ часов. С учётом стоянки $$3$$ ч, время движения: $$6 - 3 = 3$$ ч.
2. Пусть собственная скорость катера $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 3)$$ км/ч, против: $$(v - 3)$$ км/ч.
3. Уравнение: $$\frac{40}{v + 3} + \frac{40}{v - 3} = 3$$.
4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{40(v - 3) + 40(v + 3)}{v^2 - 9} = 3$$.
5. $$\frac{80v}{v^2 - 9} = 3 \Rightarrow 80v = 3v^2 - 27$$.
6. $$3v^2 - 80v - 27 = 0$$. Дискриминант: $$6400 + 324 = 6724 = 82^2$$.
7. $$v = \frac{80 + 82}{6} = \frac{162}{6} = 27$$ км/ч.
Ответ: $$27$$