ЕГЭ (профиль) / Текстовые задачи

Скорость обгона пассажирским поездом товарного составляет $$100-80=20$$ км/ч. Товарный поезд имеет длину 2100 метров или 2,1 км. В задаче сказано, что пассажирский поезд прошел мимо товарного за 7,5 минут (за $$\frac{7,5}{60}$$ часа) со скоростью 20 км/ч. То есть была пройдена вся длина товарного поезда и еще длина самого пассажирского поезда. Обозначим через $$x$$ длину пассажирского поезда, тогда расстояние равное $$x+2,1$$ было пройдено за $$\frac{7,5}{60}=\frac{1}{8}$$ часа со скоростью 20 км/ч. Получаем уравнение

$$(x+2,1):\frac{1}{8}=20$$

$$(x+2,1)\cdot8=20$$

$$8x+16,8=20$$

$$8x=3,2$$

$$x=\frac{3,2}{8}=0,4$$

То есть длина пассажирского поезда равна 0,4 км или 400 метров.

1. Скорость сближения поездов: $$100 + 50 = 150$$ км/ч.

2. Переведём скорость в м/с: $$150 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{125}{3}$$ м/с.

3. За $$30$$ с поезда проходят друг мимо друга: $$\frac{125}{3} \cdot 30 = 1250$$ м.

4. Длина скорого поезда: $$1250 - 750 = 500$$ м.

Ответ: $$500$$

1. Пусть скорость баржи из $$A$$ в $$B$$ равна $$v$$ км/ч, тогда обратно $$(v + 4)$$ км/ч.

2. Время из $$A$$ в $$B$$: $$\frac{234}{v}$$ ч, обратно (с остановкой): $$\frac{234}{v + 4} + 8$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{234}{v} = \frac{234}{v + 4} + 8$$.

4. Умножаем на $$v(v + 4)$$: $$234(v + 4) = 234v + 8v(v + 4)$$.

5. $$936 = 8v^2 + 32v \Rightarrow v^2 + 4v - 117 = 0$$.

6. По теореме Виета: $$v = 9$$ (так как $$9 \cdot (-13) = -117$$ и $$9 + (-13) = -4$$).

Ответ: $$9$$

1. Пусть расстояние от $$A$$ до $$C$$ равно $$x$$ км, скорость автомобиля $$v$$ км/ч.

2. Мотоциклист догнал автомобиль в точке $$C$$. Время автомобиля до $$C$$: $$\frac{x}{v}$$, мотоциклиста: $$\frac{x}{60}$$.

3. Мотоциклист выехал на $$1$$ ч позже: $$\frac{x}{v} - \frac{x}{60} = 1$$.

4. Общее время мотоциклиста от старта автомобиля: $$1 + \frac{2x}{60}$$. Время автомобиля: $$\frac{200}{v}$$.

5. Эти времена равны: $$1 + \frac{2x}{60} = \frac{200}{v}$$.

6. Из третьего уравнения: $$v = \frac{60x}{x - 60}$$.

7. Подставляем в пятое: $$1 + \frac{x}{30} = \frac{200(x - 60)}{60x}$$.

8. $$\frac{30 + x}{30} = \frac{200(x - 60)}{60x} \Rightarrow 2x(30 + x) = 200(x - 60)$$.

9. $$60x + 2x^2 = 200x - 12000 \Rightarrow 2x^2 - 140x - 12000 = 0 \Rightarrow x^2 - 70x - 6000 = 0$$.

10. Решаем: $$x = 120$$ (проверяем: $$x = 120$$, тогда $$v = \frac{60 \cdot 120}{60} = 120$$ км/ч).

Ответ: $$120$$

Положим, что встреча автомобиля с мотоциклом состоялась на расстоянии в S км от точки A. Соответственно, расстояние от точки встречи C до точки B будет равно $$300-S$$ км. За x км/ч примем скорость автомобиля. Тогда, время затраченное автомобилем на прохождение расстояния в S км равно $$t_1=S/x$$, а время затраченное мотоциклистом $$t_2=\frac{S}{90}$$. По условию задачи разница во времени у них составила 1 час, т.е. $$\frac{S}{x}-\frac{S}{90}=1$$.

Также по условию задачи сказано, что пока автомобиль ехал $$300-S$$ км, мотоциклист за это же время проехал $$S$$ км, т.е. можно записать равенство $$\frac{300-S}{x}=\frac{S}{90}$$.

Получаем систему из двух уравнений: $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{S}{x}-\frac{S}{90}=1 \\ \frac{300-S}{x}=\frac{S}{90} \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} x=\frac{90S}{S+90} \\ x=\frac{90\left(300-S\right)}{S} \end{array} \right.$$

откуда следует $$\frac{90S}{S+90}=\frac{90\left(300-S\right)}{S}\to \frac{S}{S+90}=\frac{300-S}{S}\to S^2=(300-S)(S+90)$$.

Получаем квадратное уравнение: $$S^2-105S-13500=0\to S_1=180;\ S_2<0$$.

Так как путь не может быть отрицательным, то получаем значение 180 км.

1. Первый автомобиль проехал $$240$$ км, второй: $$390 - 240 = 150$$ км.

2. Время второго автомобиля: $$\frac{150}{75} = 2$$ ч.

3. Первый автомобиль ехал на $$2$$ ч дольше: $$2 + 2 = 4$$ ч.

4. Скорость первого: $$\frac{240}{4} = 60$$ км/ч.

Ответ: $$60$$

1. Скорость плота равна скорости течения: $$1$$ км/ч.

2. Время движения плота до $$18$$ км: $$\frac{18}{1} = 18$$ ч.

3. Яхта вышла через $$1$$ ч, значит, её время в пути: $$18 - 1 = 17$$ ч.

4. Пусть собственная скорость яхты $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 1)$$ км/ч, против: $$(v - 1)$$ км/ч.

5. Уравнение: $$\frac{144}{v + 1} + \frac{144}{v - 1} = 17$$.

6. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{144(v - 1) + 144(v + 1)}{v^2 - 1} = 17$$.

7. $$\frac{288v}{v^2 - 1} = 17 \Rightarrow 288v = 17v^2 - 17$$.

8. $$17v^2 - 288v - 17 = 0$$.

9. Дискриминант: $$82944 + 1156 = 84100 = 290^2$$.

10. $$v = \frac{288 + 290}{34} = \frac{578}{34} = 17$$ км/ч.

Ответ: $$17$$

Пусть х км/ч - собственная скорость яхты, плот двигается со скоростью течения, тогда время плота $$t_{1}=\frac{22}{2}=11$$ часов. Лодка плыла на 2 часа меньше, то есть $$11-2=9$$ часов, при этом данное время складывается из времени по течению: $$t_{2}=\frac{80}{x+2}$$ и времени движения против течения $$t_{3}=\frac{80}{x-2}$$.

Получаем: $$\frac{80}{x+2}+\frac{80}{x-2}=9|*(x+2)(x-2)\Leftrightarrow$$$$80x-160+80x+160=9x^{2}-36\Leftrightarrow$$$$9x^{2}-160x-36=0\Rightarrow$$$$D=25600+1296=164^{2}\Rightarrow$$$$x_{1}=\frac{160+164}{18}=18 , x_{2}<0$$, то есть собственная скорость лодки 18 км/ч

Если в свежих фруктах содержится 80% воды, тогда 20% - сухая масса, которая переходит в сушеные фрукты. Тогда: 228 кг - 100% x кг - 20% $$x=\frac{228*20}{100}$$ кг - сухой массы. В сухофруктах 28% воды, следовательно, 72% сухой массы, тогда: $$x=\frac{228*20}{100}$$ кг - 72% у - 100% $$y=\frac{\frac{228*20}{100}*100}{72}=80$$ кг - масса сухофруктов

В сушенных 30% воды, следовательно, 70% (х) - сухой массы, тогда: 6 кг - 100% x кг - 70% $$x=\frac{70*6}{100}$$ кг - сухая масса, именно она перешла из свежих фруктов, но, с учетом того, что воды в них 88%, то сухая масса составляет 12%, тогда: $$x=\frac{70*6}{100}$$ ru - 12% y кг - 100% $$y=\frac{\frac{70*6}{100}*100}{12}=35$$ кг - масса свежих фркутов

1. Пусть доход мужа $$M$$, жены $$W$$, дочери $$D$$. Общий доход $$S = M + W + D$$.

2. Увеличение мужа вдвое дает рост на $$53\%$$: $$M = 0,53S$$.

3. Уменьшение стипендии в $$4$$ раза (то есть на $$\frac{3}{4}$$ от $$D$$) дает снижение на $$3\%$$: $$\frac{3}{4}D = 0,03S \Rightarrow D = 0,04S$$.

4. Зарплата жены: $$W = S - M - D = S - 0,53S - 0,04S = 0,43S$$.

5. Это составляет $$43\%$$.

Ответ: $$43$$

1. Пусть масса $$11\%$$ раствора $$x$$ кг, $$72\%$$ — $$y$$ кг.

2. Первая ситуация (с водой): $$0,11x + 0,72y = 0,31(x + y + 10)$$.

3. Вторая ситуация (с $$50\%$$ раствором): $$0,11x + 0,72y + 0,5 \cdot 10 = 0,51(x + y + 10)$$.

4. Вычтем первое уравнение из второго: $$5 = 0,2(x + y + 10) \Rightarrow x + y + 10 = 25 \Rightarrow x + y = 15$$.

5. Подставим $$y = 15 - x$$ в первое уравнение: $$0,11x + 0,72(15 - x) = 0,31 \cdot 25$$.

6. $$0,11x + 10,8 - 0,72x = 7,75 \Rightarrow -0,61x = -3,05 \Rightarrow x = 5$$.

Ответ: $$5$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1. Пусть масса каждого раствора равна $$m$$.

2. Масса вещества в первом растворе: $$0,11m$$, во втором: $$0,15m$$.

3. Общая масса вещества: $$0,11m + 0,15m = 0,26m$$.

4. Общая масса раствора: $$2m$$.

5. Концентрация: $$\frac{0,26m}{2m} \cdot 100\% = 13\%$$.

Ответ: $$13$$

1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 4)$$ км/ч, против: $$(v - 4)$$ км/ч.

2. Время движения: $$\frac{384}{v + 4} + \frac{384}{v - 4}$$.

3. С учётом стоянки: $$\frac{384}{v + 4} + \frac{384}{v - 4} + 8 = 48 \Rightarrow \frac{384}{v + 4} + \frac{384}{v - 4} = 40$$.

4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{384(v - 4) + 384(v + 4)}{v^2 - 16} = 40$$.

5. $$\frac{768v}{v^2 - 16} = 40 \Rightarrow 768v = 40v^2 - 640$$.

6. $$40v^2 - 768v - 640 = 0 \Rightarrow 5v^2 - 96v - 80 = 0$$.

7. Дискриминант: $$9216 + 1600 = 10816 = 104^2$$. $$v = \frac{96 + 104}{10} = 20$$ км/ч.

Ответ: $$20$$