Задание 7133
Задание 7133
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $$384$$ км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна $$4$$ км/ч, стоянка длится $$8$$ часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через $$48$$ часов. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 4)$$ км/ч, против: $$(v - 4)$$ км/ч.
2. Время движения: $$\frac{384}{v + 4} + \frac{384}{v - 4}$$.
3. С учётом стоянки: $$\frac{384}{v + 4} + \frac{384}{v - 4} + 8 = 48 \Rightarrow \frac{384}{v + 4} + \frac{384}{v - 4} = 40$$.
4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{384(v - 4) + 384(v + 4)}{v^2 - 16} = 40$$.
5. $$\frac{768v}{v^2 - 16} = 40 \Rightarrow 768v = 40v^2 - 640$$.
6. $$40v^2 - 768v - 640 = 0 \Rightarrow 5v^2 - 96v - 80 = 0$$.
7. Дискриминант: $$9216 + 1600 = 10816 = 104^2$$. $$v = \frac{96 + 104}{10} = 20$$ км/ч.
Ответ: $$20$$
Задание 7131
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $$48$$ км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна $$4$$ км/ч, стоянка длится $$5$$ часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через $$10$$ часов. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 4)$$ км/ч, против: $$(v - 4)$$ км/ч.
2. Время движения: $$\frac{48}{v + 4} + \frac{48}{v - 4}$$.
3. С учётом стоянки: $$\frac{48}{v + 4} + \frac{48}{v - 4} + 5 = 10 \Rightarrow \frac{48}{v + 4} + \frac{48}{v - 4} = 5$$.
4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{48(v - 4) + 48(v + 4)}{v^2 - 16} = 5$$.
5. $$\frac{96v}{v^2 - 16} = 5 \Rightarrow 96v = 5v^2 - 80$$.
6. $$5v^2 - 96v - 80 = 0$$. Дискриминант: $$9216 + 1600 = 10816 = 104^2$$.
7. $$v = \frac{96 + 104}{10} = \frac{200}{10} = 20$$ км/ч.
Ответ: $$20$$
Задание 7132
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $$80$$ км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна $$2$$ км/ч, стоянка длится $$4$$ часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через $$13$$ часов. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 2)$$ км/ч, против: $$(v - 2)$$ км/ч.
2. Время движения: $$\frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2}$$.
3. С учётом стоянки: $$\frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} + 4 = 13 \Rightarrow \frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} = 9$$.
4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{80(v - 2) + 80(v + 2)}{v^2 - 4} = 9$$.
5. $$\frac{160v}{v^2 - 4} = 9 \Rightarrow 160v = 9v^2 - 36$$.
6. $$9v^2 - 160v - 36 = 0$$. Дискриминант: $$25600 + 1296 = 26896 = 164^2$$.
7. $$v = \frac{160 + 164}{18} = \frac{324}{18} = 18$$ км/ч.
Ответ: $$18$$
Задание 7134
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $$567$$ км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна $$3$$ км/ч, стоянка длится $$6$$ часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через $$54$$ часа. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 3)$$ км/ч, против: $$(v - 3)$$ км/ч.
2. Время движения: $$\frac{567}{v + 3} + \frac{567}{v - 3}$$.
3. С учётом стоянки: $$\frac{567}{v + 3} + \frac{567}{v - 3} + 6 = 54 \Rightarrow \frac{567}{v + 3} + \frac{567}{v - 3} = 48$$.
4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{567(v - 3) + 567(v + 3)}{v^2 - 9} = 48$$.
5. $$\frac{1134v}{v^2 - 9} = 48 \Rightarrow 1134v = 48v^2 - 432$$.
6. $$48v^2 - 1134v - 432 = 0 \Rightarrow 8v^2 - 189v - 72 = 0$$.
7. Дискриминант: $$35721 + 2304 = 38025 = 195^2$$. $$v = \frac{189 + 195}{16} = 24$$ км/ч.
Ответ: $$24$$
Задание 6997
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $$132$$ км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна $$5$$ км/ч, стоянка длится $$23$$ часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через $$34$$ часа. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 5)$$ км/ч, против: $$(v - 5)$$ км/ч.
2. Время движения: $$\frac{132}{v + 5} + \frac{132}{v - 5}$$.
3. С учётом стоянки: $$\frac{132}{v + 5} + \frac{132}{v - 5} + 23 = 34 \Rightarrow \frac{132}{v + 5} + \frac{132}{v - 5} = 11$$.
4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{132(v - 5) + 132(v + 5)}{v^2 - 25} = 11$$.
5. $$\frac{264v}{v^2 - 25} = 11 \Rightarrow 264v = 11v^2 - 275$$.
6. $$11v^2 - 264v - 275 = 0 \Rightarrow v^2 - 24v - 25 = 0$$.
7. По теореме Виета: $$v = 25$$ (так как $$25 \cdot (-1) = -25$$ и $$25 + (-1) = 24$$).
Ответ: $$25$$