Задание 7155
Задание 7155
Байдарка в $$07$$:$$00$$ вышла из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расположенный в $$30$$ км от $$A$$. Пробыв в пункте $$B$$ $$2$$ часа $$40$$ минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт $$A$$ в $$23$$:$$00$$ того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки равна $$3$$ км/ч.
1. Общее время с $$07$$:$$00$$ до $$23$$:$$00$$ — $$16$$ часов. С учётом стоянки $$2$$ ч $$40$$ мин = $$\frac{8}{3}$$ ч, время движения: $$16 - \frac{8}{3} = \frac{40}{3}$$ ч.
2. Пусть собственная скорость байдарки $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 3)$$ км/ч, против: $$(v - 3)$$ км/ч.
3. Уравнение: $$\frac{30}{v + 3} + \frac{30}{v - 3} = \frac{40}{3}$$.
4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{30(v - 3) + 30(v + 3)}{v^2 - 9} = \frac{40}{3}$$.
5. $$\frac{60v}{v^2 - 9} = \frac{40}{3} \Rightarrow 180v = 40v^2 - 360$$.
6. $$40v^2 - 180v - 360 = 0 \Rightarrow 2v^2 - 9v - 18 = 0$$.
7. Дискриминант: $$81 + 144 = 225 = 15^2$$.
8. $$v = \frac{9 + 15}{4} = \frac{24}{4} = 6$$ км/ч.
Ответ: $$6$$
Задание 7156
Байдарка в $$10$$:$$00$$ вышла из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расположенный в $$15$$ км от $$A$$. Пробыв в пункте $$B$$ $$1$$ час $$20$$ минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт $$A$$ в $$16$$:$$00$$ того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки равна $$2$$ км/ч.
1. Общее время с $$10$$:$$00$$ до $$16$$:$$00$$ — $$6$$ часов. С учётом стоянки $$1$$ ч $$20$$ мин = $$\frac{4}{3}$$ ч, время движения: $$6 - \frac{4}{3} = \frac{14}{3}$$ ч.
2. Пусть собственная скорость байдарки $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 2)$$ км/ч, против: $$(v - 2)$$ км/ч.
3. Уравнение: $$\frac{15}{v + 2} + \frac{15}{v - 2} = \frac{14}{3}$$.
4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{15(v - 2) + 15(v + 2)}{v^2 - 4} = \frac{14}{3}$$.
5. $$\frac{30v}{v^2 - 4} = \frac{14}{3} \Rightarrow 90v = 14v^2 - 56$$.
6. $$14v^2 - 90v - 56 = 0 \Rightarrow 7v^2 - 45v - 28 = 0$$.
7. Дискриминант: $$2025 + 784 = 2809 = 53^2$$.
8. $$v = \frac{45 + 53}{14} = \frac{98}{14} = 7$$ км/ч.
Ответ: $$7$$
Задание 7004
Байдарка в $$9:00$$ вышла из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расположенный в $$24$$ км от $$A$$. Пробыв в пункте $$B$$ $$2$$ часа, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт $$A$$ в $$18:00$$ того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки равна $$1$$ км/ч.
1. Общее время с 9:00 до 18:00 — $$9$$ часов. С учётом стоянки $$2$$ ч, время движения: $$9 - 2 = 7$$ ч.
2. Пусть собственная скорость байдарки $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 1)$$ км/ч, против: $$(v - 1)$$ км/ч.
3. Уравнение: $$\frac{24}{v + 1} + \frac{24}{v - 1} = 7$$.
4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{24(v - 1) + 24(v + 1)}{v^2 - 1} = 7$$.
5. $$\frac{48v}{v^2 - 1} = 7 \Rightarrow 48v = 7v^2 - 7$$.
6. $$7v^2 - 48v - 7 = 0$$. Дискриминант: $$2304 + 196 = 2500 = 50^2$$.
7. $$v = \frac{48 + 50}{14} = \frac{98}{14} = 7$$ км/ч.
Ответ: $$7$$