Задание 7158
Задание 7158
Расстояние между пристанями $$A$$ и $$B$$ равно $$144$$ км. Из $$A$$ в $$B$$ по течению реки отправился плот, а через $$1$$ час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт $$B$$, тотчас повернула обратно и возвратилась в $$A$$. К этому времени плот проплыл $$18$$ км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $$1$$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.
1. Скорость плота равна скорости течения: $$1$$ км/ч.
2. Время движения плота до $$18$$ км: $$\frac{18}{1} = 18$$ ч.
3. Яхта вышла через $$1$$ ч, значит, её время в пути: $$18 - 1 = 17$$ ч.
4. Пусть собственная скорость яхты $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 1)$$ км/ч, против: $$(v - 1)$$ км/ч.
5. Уравнение: $$\frac{144}{v + 1} + \frac{144}{v - 1} = 17$$.
6. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{144(v - 1) + 144(v + 1)}{v^2 - 1} = 17$$.
7. $$\frac{288v}{v^2 - 1} = 17 \Rightarrow 288v = 17v^2 - 17$$.
8. $$17v^2 - 288v - 17 = 0$$.
9. Дискриминант: $$82944 + 1156 = 84100 = 290^2$$.
10. $$v = \frac{288 + 290}{34} = \frac{578}{34} = 17$$ км/ч.
Ответ: $$17$$
Задание 7157
Расстояние между пристанями $$A$$ и $$B$$ равно $$160$$ км. Из $$A$$ в $$B$$ по течению реки отправился плот, а через $$1$$ час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт $$B$$, тотчас повернула обратно и возвратилась в $$A$$. К этому времени плот проплыл $$39$$ км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $$3$$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.
1. Скорость плота равна скорости течения: $$3$$ км/ч.
2. Время движения плота до $$39$$ км: $$\frac{39}{3} = 13$$ ч.
3. Яхта вышла через $$1$$ ч, значит, её время в пути: $$13 - 1 = 12$$ ч.
4. Пусть собственная скорость яхты $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 3)$$ км/ч, против: $$(v - 3)$$ км/ч.
5. Уравнение: $$\frac{160}{v + 3} + \frac{160}{v - 3} = 12$$.
6. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{160(v - 3) + 160(v + 3)}{v^2 - 9} = 12$$.
7. $$\frac{320v}{v^2 - 9} = 12 \Rightarrow 320v = 12v^2 - 108$$.
8. $$12v^2 - 320v - 108 = 0 \Rightarrow 3v^2 - 80v - 27 = 0$$.
9. Дискриминант: $$6400 + 324 = 6724 = 82^2$$.
10. $$v = \frac{80 + 82}{6} = \frac{162}{6} = 27$$ км/ч.
Ответ: $$27$$
Задание 7159
Расстояние между пристанями $$A$$ и $$B$$ равно $$192$$ км. Из $$A$$ в $$B$$ по течению реки отправился плот, а через $$3$$ часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт $$B$$, тотчас повернула обратно и возвратилась в $$A$$. К этому времени плот проплыл $$92$$ км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $$4$$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.
1. Скорость плота равна скорости течения: $$4$$ км/ч.
2. Время движения плота до $$92$$ км: $$\frac{92}{4} = 23$$ ч.
3. Яхта вышла через $$3$$ ч, значит, её время в пути: $$23 - 3 = 20$$ ч.
4. Пусть собственная скорость яхты $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 4)$$ км/ч, против: $$(v - 4)$$ км/ч.
5. Уравнение: $$\frac{192}{v + 4} + \frac{192}{v - 4} = 20$$.
6. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{192(v - 4) + 192(v + 4)}{v^2 - 16} = 20$$.
7. $$\frac{384v}{v^2 - 16} = 20 \Rightarrow 384v = 20v^2 - 320$$.
8. $$20v^2 - 384v - 320 = 0 \Rightarrow 5v^2 - 96v - 80 = 0$$.
9. Дискриминант: $$9216 + 1600 = 10816 = 104^2$$.
10. $$v = \frac{96 + 104}{10} = \frac{200}{10} = 20$$ км/ч.
Ответ: $$20$$
Задание 7160
Расстояние между пристанями $$A$$ и $$B$$ равно $$198$$ км. Из $$A$$ в $$B$$ по течению реки отправился плот, а через $$3$$ часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт $$B$$, тотчас повернула обратно и возвратилась в $$A$$. К этому времени плот проплыл $$46$$ км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $$2$$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.
1. Скорость плота равна скорости течения: $$2$$ км/ч.
2. Время движения плота до $$46$$ км: $$\frac{46}{2} = 23$$ ч.
3. Яхта вышла через $$3$$ ч, значит, её время в пути: $$23 - 3 = 20$$ ч.
4. Пусть собственная скорость яхты $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 2)$$ км/ч, против: $$(v - 2)$$ км/ч.
5. Уравнение: $$\frac{198}{v + 2} + \frac{198}{v - 2} = 20$$.
6. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{198(v - 2) + 198(v + 2)}{v^2 - 4} = 20$$.
7. $$\frac{396v}{v^2 - 4} = 20 \Rightarrow 396v = 20v^2 - 80$$.
8. $$20v^2 - 396v - 80 = 0 \Rightarrow 5v^2 - 99v - 20 = 0$$.
9. Дискриминант: $$9801 + 400 = 10201 = 101^2$$.
10. $$v = \frac{99 + 101}{10} = \frac{200}{10} = 20$$ км/ч.
Ответ: $$20$$
Задание 7005
Расстояние между пристанями $$A$$ и $$B$$ равно $$135$$ км. Из $$A$$ в $$B$$ по течению реки отправился плот, а через $$2$$ часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт $$B$$, тотчас повернула обратно и возвратилась в $$A$$. К этому времени плот прошел $$80$$ км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $$4$$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.
1. Скорость плота равна скорости течения: $$4$$ км/ч.
2. Время движения плота до $$80$$ км: $$\frac{80}{4} = 20$$ ч.
3. Яхта вышла через $$2$$ ч, значит, её время в пути: $$20 - 2 = 18$$ ч.
4. Пусть собственная скорость яхты $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 4)$$ км/ч, против: $$(v - 4)$$ км/ч.
5. Уравнение: $$\frac{135}{v + 4} + \frac{135}{v - 4} = 18$$.
6. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{135(v - 4) + 135(v + 4)}{v^2 - 16} = 18$$.
7. $$\frac{270v}{v^2 - 16} = 18 \Rightarrow 270v = 18v^2 - 288$$.
8. $$18v^2 - 270v - 288 = 0 \Rightarrow v^2 - 15v - 16 = 0$$.
9. По теореме Виета: $$v = 16$$ (так как $$16 \cdot (-1) = -16$$ и $$16 + (-1) = 15$$).
Ответ: $$16$$