Задание 7097
Задание 7097
Два велосипедиста одновременно отправились в $$154$$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на $$3$$ км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $$3$$ часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость второго $$v$$ км/ч, тогда первого $$(v + 3)$$ км/ч.
2. Время второго: $$\frac{154}{v}$$ ч, первого: $$\frac{154}{v + 3}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{154}{v} - \frac{154}{v + 3} = 3$$.
4. Умножаем на $$v(v + 3)$$: $$154(v + 3) - 154v = 3v(v + 3)$$.
5. $$154v + 462 - 154v = 3v^2 + 9v \Rightarrow 3v^2 + 9v - 462 = 0 \Rightarrow v^2 + 3v - 154 = 0$$.
6. По теореме Виета: $$v = 11$$ (так как $$11 \cdot (-14) = -154$$ и $$11 + (-14) = -3$$).
Ответ: $$11$$
Задание 7096
Два велосипедиста одновременно отправились в $$160$$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на $$6$$ км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $$6$$ часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость второго $$v$$ км/ч, тогда первого $$(v + 6)$$ км/ч.
2. Время второго: $$\frac{160}{v}$$ ч, первого: $$\frac{160}{v + 6}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{160}{v} - \frac{160}{v + 6} = 6$$.
4. Умножаем на $$v(v + 6)$$: $$160(v + 6) - 160v = 6v(v + 6)$$.
5. $$160v + 960 - 160v = 6v^2 + 36v \Rightarrow 6v^2 + 36v - 960 = 0 \Rightarrow v^2 + 6v - 160 = 0$$.
6. По теореме Виета: $$v = 10$$ (так как $$10 \cdot (-16) = -160$$ и $$10 + (-16) = -6$$).
Ответ: $$10$$
Задание 7098
Два велосипедиста одновременно отправились в $$240$$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на $$8$$ км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $$8$$ часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость второго $$v$$ км/ч, тогда первого $$(v + 8)$$ км/ч.
2. Время второго: $$\frac{240}{v}$$ ч, первого: $$\frac{240}{v + 8}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{240}{v} - \frac{240}{v + 8} = 8$$.
4. Умножаем на $$v(v + 8)$$: $$240(v + 8) - 240v = 8v(v + 8)$$.
5. $$240v + 1920 - 240v = 8v^2 + 64v \Rightarrow 8v^2 + 64v - 1920 = 0 \Rightarrow v^2 + 8v - 240 = 0$$.
6. По теореме Виета: $$v = 12$$ (так как $$12 \cdot (-20) = -240$$ и $$12 + (-20) = -8$$).
Ответ: $$12$$
Задание 6988
Два велосипедиста одновременно отправились в $$80$$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на $$2$$ км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $$2$$ часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость второго $$v$$ км/ч, тогда первого $$(v + 2)$$ км/ч.
2. Время второго: $$\frac{80}{v}$$ ч, первого: $$\frac{80}{v + 2}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{80}{v} - \frac{80}{v + 2} = 2$$.
4. Умножаем на $$v(v + 2)$$: $$80(v + 2) - 80v = 2v(v + 2)$$.
5. $$80v + 160 - 80v = 2v^2 + 4v \Rightarrow 2v^2 + 4v - 160 = 0 \Rightarrow v^2 + 2v - 80 = 0$$.
6. По теореме Виета: $$v = 8$$ (так как $$8 \cdot (-10) = -80$$ и $$8 + (-10) = -2$$).
Ответ: $$8$$