Задачи на движение по прямой и окружности

1. Скорость сближения поездов: $$100 + 50 = 150$$ км/ч.

2. Переведём скорость в м/с: $$150 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{125}{3}$$ м/с.

3. За $$30$$ с поезда проходят друг мимо друга: $$\frac{125}{3} \cdot 30 = 1250$$ м.

4. Длина скорого поезда: $$1250 - 750 = 500$$ м.

Ответ: $$500$$

1. Пусть расстояние от $$A$$ до $$C$$ равно $$x$$ км, скорость автомобиля $$v$$ км/ч.

2. Мотоциклист догнал автомобиль в точке $$C$$. Время автомобиля до $$C$$: $$\frac{x}{v}$$, мотоциклиста: $$\frac{x}{60}$$.

3. Мотоциклист выехал на $$1$$ ч позже: $$\frac{x}{v} - \frac{x}{60} = 1$$.

4. Общее время мотоциклиста от старта автомобиля: $$1 + \frac{2x}{60}$$. Время автомобиля: $$\frac{200}{v}$$.

5. Эти времена равны: $$1 + \frac{2x}{60} = \frac{200}{v}$$.

6. Из третьего уравнения: $$v = \frac{60x}{x - 60}$$.

7. Подставляем в пятое: $$1 + \frac{x}{30} = \frac{200(x - 60)}{60x}$$.

8. $$\frac{30 + x}{30} = \frac{200(x - 60)}{60x} \Rightarrow 2x(30 + x) = 200(x - 60)$$.

9. $$60x + 2x^2 = 200x - 12000 \Rightarrow 2x^2 - 140x - 12000 = 0 \Rightarrow x^2 - 70x - 6000 = 0$$.

10. Решаем: $$x = 120$$ (проверяем: $$x = 120$$, тогда $$v = \frac{60 \cdot 120}{60} = 120$$ км/ч).

Ответ: $$120$$

Положим, что встреча автомобиля с мотоциклом состоялась на расстоянии в S км от точки A. Соответственно, расстояние от точки встречи C до точки B будет равно $$300-S$$ км. За x км/ч примем скорость автомобиля. Тогда, время затраченное автомобилем на прохождение расстояния в S км равно $$t_1=S/x$$, а время затраченное мотоциклистом $$t_2=\frac{S}{90}$$. По условию задачи разница во времени у них составила 1 час, т.е. $$\frac{S}{x}-\frac{S}{90}=1$$.

Также по условию задачи сказано, что пока автомобиль ехал $$300-S$$ км, мотоциклист за это же время проехал $$S$$ км, т.е. можно записать равенство $$\frac{300-S}{x}=\frac{S}{90}$$.

Получаем систему из двух уравнений: $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{S}{x}-\frac{S}{90}=1 \\ \frac{300-S}{x}=\frac{S}{90} \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} x=\frac{90S}{S+90} \\ x=\frac{90\left(300-S\right)}{S} \end{array} \right.$$

откуда следует $$\frac{90S}{S+90}=\frac{90\left(300-S\right)}{S}\to \frac{S}{S+90}=\frac{300-S}{S}\to S^2=(300-S)(S+90)$$.

Получаем квадратное уравнение: $$S^2-105S-13500=0\to S_1=180;\ S_2<0$$.

Так как путь не может быть отрицательным, то получаем значение 180 км.

1. Первый автомобиль проехал $$240$$ км, второй: $$390 - 240 = 150$$ км.

2. Время второго автомобиля: $$\frac{150}{75} = 2$$ ч.

3. Первый автомобиль ехал на $$2$$ ч дольше: $$2 + 2 = 4$$ ч.

4. Скорость первого: $$\frac{240}{4} = 60$$ км/ч.

Ответ: $$60$$