Задание 7109
Задание 7109
Из городов $$A$$ и $$B$$ навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город $$B$$ на $$10$$ часов раньше, чем велосипедист приехал в город $$A$$, а встретились они через $$3$$ часа $$45$$ минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города $$B$$ в город $$A$$ велосипедист?
1. Пусть расстояние между городами $$S$$ км, скорость мотоциклиста $$v_1$$, велосипедиста $$v_2$$.
2. Время до встречи: $$3$$ ч $$45$$ мин = $$\frac{15}{4}$$ ч. Тогда $$\frac{15}{4}(v_1 + v_2) = S$$.
3. Время мотоциклиста до $$B$$: $$\frac{S}{v_1}$$, велосипедиста до $$A$$: $$\frac{S}{v_2}$$.
4. По условию: $$\frac{S}{v_2} - \frac{S}{v_1} = 10$$.
5. Из второго уравнения: $$S = \frac{15}{4}(v_1 + v_2)$$.
6. Подставляем: $$\frac{15(v_1 + v_2)}{4v_2} - \frac{15(v_1 + v_2)}{4v_1} = 10$$.
7. Пусть $$k = \frac{v_1}{v_2}$$, тогда $$\frac{15(k + 1)}{4} - \frac{15(k + 1)}{4k} = 10$$.
8. $$\frac{15(k + 1)(k - 1)}{4k} = 10 \Rightarrow 15(k^2 - 1) = 40k \Rightarrow 3k^2 - 8k - 3 = 0$$.
9. $$k = 3$$ (так как $$k > 0$$).
10. Тогда $$v_1 = 3v_2$$, $$S = \frac{15}{4} \cdot 4v_2 = 15v_2$$.
11. Время велосипедиста: $$\frac{S}{v_2} = \frac{15v_2}{v_2} = 15$$ ч.
Ответ: $$15$$
Задание 7110
Из городов $$A$$ и $$B$$ навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город $$B$$ на $$4$$ часа раньше, чем велосипедист приехал в город $$A$$, а встретились они через $$1$$ час $$30$$ минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города $$B$$ в город $$A$$ велосипедист?
1. Пусть расстояние между городами $$S$$ км, скорость мотоциклиста $$v_1$$, велосипедиста $$v_2$$.
2. Время до встречи: $$1$$ ч $$30$$ мин = $$\frac{3}{2}$$ ч. Тогда $$\frac{3}{2}(v_1 + v_2) = S$$.
3. Время мотоциклиста до $$B$$: $$\frac{S}{v_1}$$, велосипедиста до $$A$$: $$\frac{S}{v_2}$$.
4. По условию: $$\frac{S}{v_2} - \frac{S}{v_1} = 4$$.
5. Из второго уравнения: $$S = \frac{3}{2}(v_1 + v_2)$$.
6. Подставляем: $$\frac{3(v_1 + v_2)}{2v_2} - \frac{3(v_1 + v_2)}{2v_1} = 4$$.
7. Пусть $$k = \frac{v_1}{v_2}$$, тогда $$\frac{3(k + 1)}{2} - \frac{3(k + 1)}{2k} = 4$$.
8. $$\frac{3(k + 1)(k - 1)}{2k} = 4 \Rightarrow 3(k^2 - 1) = 8k \Rightarrow 3k^2 - 8k - 3 = 0$$.
9. $$k = 3$$ (так как $$k > 0$$).
10. Тогда $$v_1 = 3v_2$$, $$S = \frac{3}{2} \cdot 4v_2 = 6v_2$$.
11. Время велосипедиста: $$\frac{S}{v_2} = \frac{6v_2}{v_2} = 6$$ ч.
Ответ: $$6$$
Задание 7111
Из городов $$A$$ и $$B$$ навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город $$B$$ на $$6$$ часов раньше, чем велосипедист приехал в город $$A$$, а встретились они через $$1$$ час $$36$$ минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города $$B$$ в город $$A$$ велосипедист?
1. Пусть расстояние между городами $$S$$ км, скорость мотоциклиста $$v_1$$, велосипедиста $$v_2$$.
2. Время до встречи: $$1$$ ч $$36$$ мин = $$\frac{8}{5}$$ ч. Тогда $$\frac{8}{5}(v_1 + v_2) = S$$.
3. Время мотоциклиста до $$B$$: $$\frac{S}{v_1}$$, велосипедиста до $$A$$: $$\frac{S}{v_2}$$.
4. По условию: $$\frac{S}{v_2} - \frac{S}{v_1} = 6$$.
5. Из второго уравнения: $$S = \frac{8}{5}(v_1 + v_2)$$.
6. Подставляем: $$\frac{8(v_1 + v_2)}{5v_2} - \frac{8(v_1 + v_2)}{5v_1} = 6$$.
7. Пусть $$k = \frac{v_1}{v_2}$$, тогда $$\frac{8(k + 1)}{5} - \frac{8(k + 1)}{5k} = 6$$.
8. $$\frac{8(k + 1)(k - 1)}{5k} = 6 \Rightarrow 8(k^2 - 1) = 30k \Rightarrow 4k^2 - 15k - 4 = 0$$.
9. $$k = 4$$ (так как $$k > 0$$).
10. Тогда $$v_1 = 4v_2$$, $$S = \frac{8}{5} \cdot 5v_2 = 8v_2$$.
11. Время велосипедиста: $$\frac{S}{v_2} = \frac{8v_2}{v_2} = 8$$ ч.
Ответ: $$8$$
Задание 7112
Из городов $$A$$ и $$B$$ навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город $$B$$ на $$7$$ часов раньше, чем велосипедист приехал в город $$A$$, а встретились они через $$4$$ часа $$40$$ минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города $$B$$ в город $$A$$ велосипедист?
1. Пусть расстояние между городами $$S$$ км, скорость мотоциклиста $$v_1$$, велосипедиста $$v_2$$.
2. Время до встречи: $$4$$ ч $$40$$ мин = $$\frac{14}{3}$$ ч. Тогда $$\frac{14}{3}(v_1 + v_2) = S$$.
3. Время мотоциклиста до $$B$$: $$\frac{S}{v_1}$$, велосипедиста до $$A$$: $$\frac{S}{v_2}$$.
4. По условию: $$\frac{S}{v_2} - \frac{S}{v_1} = 7$$.
5. Из второго уравнения: $$S = \frac{14}{3}(v_1 + v_2)$$.
6. Подставляем: $$\frac{14(v_1 + v_2)}{3v_2} - \frac{14(v_1 + v_2)}{3v_1} = 7$$.
7. Пусть $$k = \frac{v_1}{v_2}$$, тогда $$\frac{14(k + 1)}{3} - \frac{14(k + 1)}{3k} = 7$$.
8. $$\frac{14(k + 1)(k - 1)}{3k} = 7 \Rightarrow 14(k^2 - 1) = 21k \Rightarrow 2k^2 - 3k - 2 = 0$$.
9. $$k = 2$$ (так как $$k > 0$$).
10. Тогда $$v_1 = 2v_2$$, $$S = \frac{14}{3} \cdot 3v_2 = 14v_2$$.
11. Время велосипедиста: $$\frac{S}{v_2} = \frac{14v_2}{v_2} = 14$$ ч.
Ответ: $$14$$
Задание 6991
Из городов $$A$$ и $$B$$ навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город $$B$$ на $$2$$ часа раньше, чем велосипедист приехал в город $$A$$, а встретились они через $$1$$ час $$20$$ минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города $$B$$ в город $$A$$ велосипедист?
1. Пусть расстояние между городами $$S$$ км, скорость мотоциклиста $$v_1$$, велосипедиста $$v_2$$.
2. Время до встречи: $$1$$ ч $$20$$ мин = $$\frac{4}{3}$$ ч. Тогда $$\frac{4}{3}(v_1 + v_2) = S$$.
3. Время мотоциклиста до В: $$\frac{S}{v_1}$$, велосипедиста до А: $$\frac{S}{v_2}$$.
4. По условию: $$\frac{S}{v_2} - \frac{S}{v_1} = 2$$.
5. Из второго уравнения: $$S = \frac{4}{3}(v_1 + v_2)$$.
6. Подставляем: $$\frac{4(v_1 + v_2)}{3v_2} - \frac{4(v_1 + v_2)}{3v_1} = 2$$.
7. Пусть $$k = \frac{v_1}{v_2}$$, тогда $$\frac{4(k + 1)}{3} - \frac{4(k + 1)}{3k} = 2$$.
8. $$\frac{4(k + 1)(k - 1)}{3k} = 2 \Rightarrow 4(k^2 - 1) = 6k \Rightarrow 2k^2 - 3k - 2 = 0$$.
9. $$k = 2$$ (так как $$k > 0$$).
10. Тогда $$v_1 = 2v_2$$, $$S = \frac{4}{3} \cdot 3v_2 = 4v_2$$.
11. Время велосипедиста: $$\frac{S}{v_2} = \frac{4v_2}{v_2} = 4$$ ч.
Ответ: $$4$$