Задание 7087
Задание 7087
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $$A$$ в город $$B$$, расстояние между которыми равно $$126$$ км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на $$5$$ км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на $$5$$ часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $$A$$ в $$B$$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $$A$$ в $$B$$. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость из $$A$$ в $$B$$ равна $$v$$ км/ч, тогда обратно $$(v + 5)$$ км/ч.
2. Время пути из $$A$$ в $$B$$: $$\frac{126}{v}$$ ч.
3. Время обратного пути (без остановки): $$\frac{126}{v + 5}$$ ч.
4. С учётом остановки: $$\frac{126}{v + 5} + 5 = \frac{126}{v}$$.
5. Умножаем на $$v(v + 5)$$: $$126v + 5v(v + 5) = 126(v + 5)$$.
6. $$126v + 5v^2 + 25v = 126v + 630 \Rightarrow 5v^2 + 25v - 630 = 0 \Rightarrow v^2 + 5v - 126 = 0$$.
7. По теореме Виета: $$v = 9$$ (так как $$9 \cdot (-14) = -126$$ и $$9 + (-14) = -5$$).
Ответ: $$9$$
Задание 7085
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $$A$$ в город $$B$$, расстояние между которыми равно $$156$$ км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на $$1$$ км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на $$1$$ час. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $$A$$ в $$B$$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $$A$$ в $$B$$. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость из $$A$$ в $$B$$ равна $$v$$ км/ч, тогда обратно $$(v + 1)$$ км/ч.
2. Время пути из $$A$$ в $$B$$: $$\frac{156}{v}$$ ч.
3. Время обратного пути (без остановки): $$\frac{156}{v + 1}$$ ч.
4. С учётом остановки: $$\frac{156}{v + 1} + 1 = \frac{156}{v}$$.
5. Умножаем на $$v(v + 1)$$: $$156v + v(v + 1) = 156(v + 1)$$.
6. $$156v + v^2 + v = 156v + 156 \Rightarrow v^2 + v - 156 = 0$$.
7. По теореме Виета: $$v = 12$$ (так как $$12 \cdot (-13) = -156$$ и $$12 + (-13) = -1$$).
Ответ: $$12$$
Задание 7086
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $$A$$ в город $$B$$, расстояние между которыми равно $$135$$ км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на $$6$$ км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на $$6$$ часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $$A$$ в $$B$$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $$A$$ в $$B$$. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость из $$A$$ в $$B$$ равна $$v$$ км/ч, тогда обратно $$(v + 6)$$ км/ч.
2. Время пути из $$A$$ в $$B$$: $$\frac{135}{v}$$ ч.
3. Время обратного пути (без остановки): $$\frac{135}{v + 6}$$ ч.
4. С учётом остановки: $$\frac{135}{v + 6} + 6 = \frac{135}{v}$$.
5. Умножаем на $$v(v + 6)$$: $$135v + 6v(v + 6) = 135(v + 6)$$.
6. $$135v + 6v^2 + 36v = 135v + 810 \Rightarrow 6v^2 + 36v - 810 = 0 \Rightarrow v^2 + 6v - 135 = 0$$.
7. По теореме Виета: $$v = 9$$ (так как $$9 \cdot (-15) = -135$$ и $$9 + (-15) = -6$$).
Ответ: $$9$$
Задание 7088
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $$A$$ в город $$B$$, расстояние между которыми равно $$132$$ км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на $$1$$ км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на $$1$$ час. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $$A$$ в $$B$$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $$A$$ в $$B$$. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость из $$A$$ в $$B$$ равна $$v$$ км/ч, тогда обратно $$(v + 1)$$ км/ч.
2. Время пути из $$A$$ в $$B$$: $$\frac{132}{v}$$ ч.
3. Время обратного пути (без остановки): $$\frac{132}{v + 1}$$ ч.
4. С учётом остановки: $$\frac{132}{v + 1} + 1 = \frac{132}{v}$$.
5. Умножаем на $$v(v + 1)$$: $$132v + v(v + 1) = 132(v + 1)$$.
6. $$132v + v^2 + v = 132v + 132 \Rightarrow v^2 + v - 132 = 0$$.
7. По теореме Виета: $$v = 11$$ (так как $$11 \cdot (-12) = -132$$ и $$11 + (-12) = -1$$).
Ответ: $$11$$
Задание 6985
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $$A$$ в город $$B$$, расстояние между которыми равно $$224$$ км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на $$2$$ км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на $$2$$ час. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $$A$$ в $$B$$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $$A$$ в $$B$$. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость из А в В равна $$v$$ км/ч, тогда обратно $$(v + 2)$$ км/ч.
2. Время пути из А в В: $$\frac{224}{v}$$ ч.
3. Время обратного пути (без остановки): $$\frac{224}{v + 2}$$ ч.
4. С учётом остановки: $$\frac{224}{v + 2} + 2 = \frac{224}{v}$$.
5. Умножаем на $$v(v + 2)$$: $$224v + 2v(v + 2) = 224(v + 2)$$.
6. $$224v + 2v^2 + 4v = 224v + 448 \Rightarrow 2v^2 + 4v - 448 = 0 \Rightarrow v^2 + 2v - 224 = 0$$.
7. По теореме Виета: $$v = 14$$ (так как $$14 \cdot (-16) = -224$$ и $$14 + (-16) = -2$$).
Ответ: $$14$$