Задание 7093
Задание 7093
Два велосипедиста одновременно отправились в $$140$$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на $$4$$ км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $$4$$ часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость второго $$v$$ км/ч, тогда первого $$(v + 4)$$ км/ч.
2. Время второго: $$\frac{140}{v}$$ ч, первого: $$\frac{140}{v + 4}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{140}{v} - \frac{140}{v + 4} = 4$$.
4. Умножаем на $$v(v + 4)$$: $$140(v + 4) - 140v = 4v(v + 4)$$.
5. $$140v + 560 - 140v = 4v^2 + 16v \Rightarrow 4v^2 + 16v - 560 = 0 \Rightarrow v^2 + 4v - 140 = 0$$.
6. По теореме Виета: $$v = 10$$ (так как $$10 \cdot (-14) = -140$$ и $$10 + (-14) = -4$$).
7. Скорость первого: $$10 + 4 = 14$$ км/ч.
Ответ: $$14$$
Задание 7094
Два велосипедиста одновременно отправились в $$190$$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на $$9$$ км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $$9$$ часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, прибывшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость второго $$v$$ км/ч, тогда первого $$(v + 9)$$ км/ч.
2. Время второго: $$\frac{190}{v}$$ ч, первого: $$\frac{190}{v + 9}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{190}{v} - \frac{190}{v + 9} = 9$$.
4. Умножаем на $$v(v + 9)$$: $$190(v + 9) - 190v = 9v(v + 9)$$.
5. $$190v + 1710 - 190v = 9v^2 + 81v \Rightarrow 9v^2 + 81v - 1710 = 0 \Rightarrow v^2 + 9v - 190 = 0$$.
6. По теореме Виета: $$v = 10$$ (так как $$10 \cdot (-19) = -190$$ и $$10 + (-19) = -9$$).
7. Скорость первого: $$10 + 9 = 19$$ км/ч.
Ответ: $$19$$
Задание 7095
Два велосипедиста одновременно отправились в $$220$$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на $$9$$ км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $$9$$ часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость второго $$v$$ км/ч, тогда первого $$(v + 9)$$ км/ч.
2. Время второго: $$\frac{220}{v}$$ ч, первого: $$\frac{220}{v + 9}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{220}{v} - \frac{220}{v + 9} = 9$$.
4. Умножаем на $$v(v + 9)$$: $$220(v + 9) - 220v = 9v(v + 9)$$.
5. $$220v + 1980 - 220v = 9v^2 + 81v \Rightarrow 9v^2 + 81v - 1980 = 0 \Rightarrow v^2 + 9v - 220 = 0$$.
6. По теореме Виета: $$v = 11$$ (так как $$11 \cdot (-20) = -220$$ и $$11 + (-20) = -9$$).
7. Скорость первого: $$11 + 9 = 20$$ км/ч.
Ответ: $$20$$
Задание 6987
Два велосипедиста одновременно отправились в $$112$$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на $$9$$ км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $$4$$ часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость второго $$v$$ км/ч, тогда первого $$(v + 9)$$ км/ч.
2. Время второго: $$\frac{112}{v}$$ ч, первого: $$\frac{112}{v + 9}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{112}{v} - \frac{112}{v + 9} = 4$$.
4. Умножаем на $$v(v + 9)$$: $$112(v + 9) - 112v = 4v(v + 9)$$.
5. $$112v + 1008 - 112v = 4v^2 + 36v \Rightarrow 4v^2 + 36v - 1008 = 0 \Rightarrow v^2 + 9v - 252 = 0$$.
6. По теореме Виета: $$v = 12$$ (так как $$12 \cdot (-21) = -252$$ и $$12 + (-21) = -9$$).
7. Скорость первого: $$12 + 9 = 21$$ км/ч.
Ответ: $$21$$