Задание 7100
Задание 7100
Из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расстояние между которыми $$40$$ км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. За час автомобилист проезжает на $$65$$ км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт $$B$$ на $$2$$ часа $$10$$ минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость велосипедиста $$v$$ км/ч, тогда автомобилиста $$(v + 65)$$ км/ч.
2. Время велосипедиста: $$\frac{40}{v}$$ ч, автомобилиста: $$\frac{40}{v + 65}$$ ч.
3. Разница во времени: $$2$$ ч $$10$$ мин = $$\frac{13}{6}$$ ч.
4. Уравнение: $$\frac{40}{v} - \frac{40}{v + 65} = \frac{13}{6}$$.
5. Умножаем на $$v(v + 65)$$: $$40(v + 65) - 40v = \frac{13}{6}v(v + 65)$$.
6. $$2600 = \frac{13}{6}v^2 + \frac{845}{6}v \Rightarrow v^2 + 65v - 1200 = 0$$.
7. По теореме Виета: $$v = 15$$ (так как $$15 \cdot (-80) = -1200$$ и $$15 + (-80) = -65$$).
Ответ: $$15$$
Задание 7099
Из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расстояние между которыми $$50$$ км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. За час автомобилист проезжает на $$30$$ км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт $$B$$ на $$1$$ час $$30$$ минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость велосипедиста $$v$$ км/ч, тогда автомобилиста $$(v + 30)$$ км/ч.
2. Время велосипедиста: $$\frac{50}{v}$$ ч, автомобилиста: $$\frac{50}{v + 30}$$ ч.
3. Разница во времени: $$1$$ ч $$30$$ мин = $$1,5$$ ч.
4. Уравнение: $$\frac{50}{v} - \frac{50}{v + 30} = 1,5$$.
5. Умножаем на $$v(v + 30)$$: $$50(v + 30) - 50v = 1,5v(v + 30)$$.
6. $$1500 = 1,5v^2 + 45v \Rightarrow v^2 + 30v - 1000 = 0$$.
7. По теореме Виета: $$v = 20$$ (так как $$20 \cdot (-50) = -1000$$ и $$20 + (-50) = -30$$).
Ответ: $$20$$
Задание 7101
Из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расстояние между которыми $$30$$ км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. За час автомобилист проезжает на $$25$$ км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт $$B$$ на $$50$$ минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость велосипедиста $$v$$ км/ч, тогда автомобилиста $$(v + 25)$$ км/ч.
2. Время велосипедиста: $$\frac{30}{v}$$ ч, автомобилиста: $$\frac{30}{v + 25}$$ ч.
3. Разница во времени: $$50$$ мин = $$\frac{5}{6}$$ ч.
4. Уравнение: $$\frac{30}{v} - \frac{30}{v + 25} = \frac{5}{6}$$.
5. Умножаем на $$v(v + 25)$$: $$30(v + 25) - 30v = \frac{5}{6}v(v + 25)$$.
6. $$750 = \frac{5}{6}v^2 + \frac{125}{6}v \Rightarrow v^2 + 25v - 900 = 0$$.
7. По теореме Виета: $$v = 20$$ (так как $$20 \cdot (-45) = -900$$ и $$20 + (-45) = -25$$).
Ответ: $$20$$
Задание 7102
Из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расстояние между которыми $$40$$ км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. За час автомобилист проезжает на $$40$$ км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт $$B$$ на $$1$$ час $$20$$ минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость велосипедиста $$v$$ км/ч, тогда автомобилиста $$(v + 40)$$ км/ч.
2. Время велосипедиста: $$\frac{40}{v}$$ ч, автомобилиста: $$\frac{40}{v + 40}$$ ч.
3. Разница во времени: $$1$$ ч $$20$$ мин = $$\frac{4}{3}$$ ч.
4. Уравнение: $$\frac{40}{v} - \frac{40}{v + 40} = \frac{4}{3}$$.
5. Умножаем на $$v(v + 40)$$: $$40(v + 40) - 40v = \frac{4}{3}v(v + 40)$$.
6. $$1600 = \frac{4}{3}v^2 + \frac{160}{3}v \Rightarrow v^2 + 40v - 1200 = 0$$.
7. По теореме Виета: $$v = 20$$ (так как $$20 \cdot (-60) = -1200$$ и $$20 + (-60) = -40$$).
Ответ: $$20$$
Задание 7103
Из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расстояние между которыми $$60$$ км, одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Известно, что за час мотоциклист проезжает на $$50$$ км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт $$B$$ на $$5$$ часов позже мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость велосипедиста $$v$$ км/ч, тогда мотоциклиста $$(v + 50)$$ км/ч.
2. Время велосипедиста: $$\frac{60}{v}$$ ч, мотоциклиста: $$\frac{60}{v + 50}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 50} = 5$$.
4. Умножаем на $$v(v + 50)$$: $$60(v + 50) - 60v = 5v(v + 50)$$.
5. $$3000 = 5v^2 + 250v \Rightarrow v^2 + 50v - 600 = 0$$.
6. По теореме Виета: $$v = 10$$ (так как $$10 \cdot (-60) = -600$$ и $$10 + (-60) = -50$$).
Ответ: $$10$$
Задание 7104
Из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расстояние между которыми $$100$$ км, одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Известно, что за час мотоциклист проезжает на $$30$$ км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт $$B$$ на $$3$$ часа позже мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость велосипедиста $$v$$ км/ч, тогда мотоциклиста $$(v + 30)$$ км/ч.
2. Время велосипедиста: $$\frac{100}{v}$$ ч, мотоциклиста: $$\frac{100}{v + 30}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{100}{v} - \frac{100}{v + 30} = 3$$.
4. Умножаем на $$v(v + 30)$$: $$100(v + 30) - 100v = 3v(v + 30)$$.
5. $$3000 = 3v^2 + 90v \Rightarrow v^2 + 30v - 1000 = 0$$.
6. По теореме Виета: $$v = 20$$ (так как $$20 \cdot (-50) = -1000$$ и $$20 + (-50) = -30$$).
Ответ: $$20$$
Задание 6989
Из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расстояние между которыми $$30$$ км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. За час автомобилист проезжает на $$40$$ км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт $$B$$ на $$2$$ часа $$24$$ минуты позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость велосипедиста $$v$$ км/ч, тогда автомобилиста $$(v + 40)$$ км/ч.
2. Время велосипедиста: $$\frac{30}{v}$$ ч, автомобилиста: $$\frac{30}{v + 40}$$ ч.
3. Разница во времени: $$2$$ ч $$24$$ мин = $$2,4$$ ч.
4. Уравнение: $$\frac{30}{v} - \frac{30}{v + 40} = 2,4$$.
5. Умножаем на $$v(v + 40)$$: $$30(v + 40) - 30v = 2,4v(v + 40)$$.
6. $$30v + 1200 - 30v = 2,4v^2 + 96v \Rightarrow 2,4v^2 + 96v - 1200 = 0 \Rightarrow v^2 + 40v - 500 = 0$$.
7. По теореме Виета: $$v = 10$$ (так как $$10 \cdot (-50) = -500$$ и $$10 + (-50) = -40$$).
Ответ: $$10$$