Задание 7177
Задание 7177
На изготовление $$696$$ деталей первый рабочий затрачивает на $$5$$ часов меньше, чем второй рабочий на изготовление $$725$$ деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на $$4$$ детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
1. Пусть второй рабочий делает $$x$$ деталей в час, тогда первый $$(x + 4)$$ деталей в час.
2. Время изготовления $$725$$ деталей вторым: $$\frac{725}{x}$$ ч, $$696$$ деталей первым: $$\frac{696}{x + 4}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{725}{x} - \frac{696}{x + 4} = 5$$.
4. Умножаем на $$x(x + 4)$$: $$725(x + 4) - 696x = 5x(x + 4)$$.
5. $$725x + 2900 - 696x = 5x^2 + 20x \Rightarrow 29x + 2900 = 5x^2 + 20x$$.
6. $$5x^2 - 9x - 2900 = 0$$.
7. Дискриминант: $$81 + 58000 = 58081 = 241^2$$. $$x = \frac{9 + 241}{10} = 25$$.
8. Производительность первого рабочего: $$25 + 4 = 29$$ деталей в час.
Ответ: $$29$$
Задание 7175
На изготовление $$660$$ деталей первый рабочий затрачивает на $$8$$ часов меньше, чем второй рабочий на изготовление $$780$$ деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на $$4$$ детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?
1. Пусть второй рабочий делает $$x$$ деталей в час, тогда первый $$(x + 4)$$ деталей в час.
2. Время изготовления $$780$$ деталей вторым: $$\frac{780}{x}$$ ч, $$660$$ деталей первым: $$\frac{660}{x + 4}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{780}{x} - \frac{660}{x + 4} = 8$$.
4. Умножаем на $$x(x + 4)$$: $$780(x + 4) - 660x = 8x(x + 4)$$.
5. $$780x + 3120 - 660x = 8x^2 + 32x \Rightarrow 120x + 3120 = 8x^2 + 32x$$.
6. $$8x^2 - 88x - 3120 = 0 \Rightarrow x^2 - 11x - 390 = 0$$.
7. Дискриминант: $$121 + 1560 = 1681 = 41^2$$. $$x = \frac{11 + 41}{2} = 26$$.
8. Производительность первого рабочего: $$26 + 4 = 30$$ деталей в час.
Ответ: $$30$$
Задание 7176
На изготовление $$832$$ деталей первый рабочий тратит на $$6$$ часов меньше, чем второй рабочий на изготовление $$928$$ деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на $$3$$ детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?
1. Пусть второй рабочий делает $$x$$ деталей в час, тогда первый $$(x + 3)$$ деталей в час.
2. Время изготовления $$928$$ деталей вторым: $$\frac{928}{x}$$ ч, $$832$$ деталей первым: $$\frac{832}{x + 3}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{928}{x} - \frac{832}{x + 3} = 6$$.
4. Умножаем на $$x(x + 3)$$: $$928(x + 3) - 832x = 6x(x + 3)$$.
5. $$928x + 2784 - 832x = 6x^2 + 18x \Rightarrow 96x + 2784 = 6x^2 + 18x$$.
6. $$6x^2 - 78x - 2784 = 0 \Rightarrow x^2 - 13x - 464 = 0$$.
7. Дискриминант: $$169 + 1856 = 2025 = 45^2$$. $$x = \frac{13 + 45}{2} = 29$$.
8. Производительность первого рабочего: $$29 + 3 = 32$$ детали в час.
Ответ: $$32$$
Задание 7178
На изготовление $$540$$ деталей первый рабочий затрачивает на $$12$$ часов меньше, чем второй рабочий на изготовление $$600$$ деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на $$10$$ деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
1. Пусть второй рабочий делает $$x$$ деталей в час, тогда первый $$(x + 10)$$ деталей в час.
2. Время изготовления $$600$$ деталей вторым: $$\frac{600}{x}$$ ч, $$540$$ деталей первым: $$\frac{540}{x + 10}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{600}{x} - \frac{540}{x + 10} = 12$$.
4. Умножаем на $$x(x + 10)$$: $$600(x + 10) - 540x = 12x(x + 10)$$.
5. $$600x + 6000 - 540x = 12x^2 + 120x \Rightarrow 60x + 6000 = 12x^2 + 120x$$.
6. $$12x^2 + 60x - 6000 = 0 \Rightarrow x^2 + 5x - 500 = 0$$.
7. Дискриминант: $$25 + 2000 = 2025 = 45^2$$. $$x = \frac{-5 + 45}{2} = 20$$.
8. Производительность первого рабочего: $$20 + 10 = 30$$ деталей в час.
Ответ: $$30$$
Задание 7009
На изготовление $$396$$ деталей первый рабочий затрачивает на $$4$$ часа меньше, чем второй рабочий на изготовление $$440$$ деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на $$2$$ детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
1. Пусть второй рабочий делает $$x$$ деталей в час, тогда первый $$(x + 2)$$ деталей в час.
2. Время изготовления $$440$$ деталей вторым: $$\frac{440}{x}$$ ч, $$396$$ деталей первым: $$\frac{396}{x + 2}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{440}{x} - \frac{396}{x + 2} = 4$$.
4. Умножаем на $$x(x + 2)$$: $$440(x + 2) - 396x = 4x(x + 2)$$.
5. $$440x + 880 - 396x = 4x^2 + 8x \Rightarrow 44x + 880 = 4x^2 + 8x$$.
6. $$4x^2 - 36x - 880 = 0 \Rightarrow x^2 - 9x - 220 = 0$$.
7. По теореме Виета: $$x = 20$$ (так как $$20 \cdot (-11) = -220$$ и $$20 + (-11) = 9$$).
8. Производительность первого рабочего: $$20 + 2 = 22$$ детали в час.
Ответ: $$22$$