ЕГЭ База
Задание 1970
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
- $$AD=AE+ED=21$$
- Площадь трапеции ABCD: $$S=\frac{7+21}{2}*12=168$$
Задание 1971
Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 17, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.
- Опустим высоты BF и CE, тогда треугольники ABF и CED равны по гипотенузе и катету, следовательно, FE=BC=5, $$AF=ED=\frac{AD-BC}{2}=6$$
- Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора $$BF=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$$
- Площадь трапеции ABCD: $$S=\frac{5+17}{2}*8=88$$
Задание 1972
Основания трапеции равны 1 и 13, одна из боковых сторон равна $$15\sqrt{2}$$, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.
- Пусть $$\angle C=135^{\circ}, CD=15\sqrt{2}$$. Опустим высоту CE , тогда $$\angle ECD=135-90=45^{\circ}$$, следовательно, треугольник CDE - прямоугольный и равнобедренный
- Из треугольника CDE -$$CE=CD*\sin ECD=15\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=15$$
- Площадь трапеции $$S_{ABCD}=\frac{1+13}{2}*15=105$$
Задание 1973
В трапеции ABCD AD = 5, BC = 2, а её площадь равна 28. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
- Из формулы площади трапеции $$BE=\frac{2S_{ABCD}}{AD+BC}=\frac{2*28}{5+2}=8$$
- $$BF=FE=\frac{1}{2}BE=4$$ так как MN - средняя линия трапеции, $$MN=\frac{BC+AD}{2}=\frac{2+5}{2}=3,5$$
- Площадь трапеции BCNM: $$S=\frac{BC+MN}{2}*BF=\frac{2+3,5}{2}*4=11$$
Задание 1974
В трапеции ABCD AD = 3, BC = 1, а её площадь равна 12. Найдите площадь треугольника ABC.
- Из площади трапеции $$AE=\frac{2S_{ABCD}}{BC+AD}=\frac{2*12}{3+1}=6$$
- Из формулы площади треугольника: $$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC*AE=\frac{1}{2}*6*1=3$$
Задание 1985
Периметр ромба равен 40, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.
- Пусть a - сторона ромба, тогда $$a=\frac{40}{4}=10$$
- Найдем площадь ромба: $$S=10*10*\sin 30^{\circ}=50$$
Задание 1986
Периметр ромба равен 24, а синус одного из углов равен $$\frac{1}{3}$$. Найдите площадь ромба.
- Пусть a - сторона ромба, тогда $$a=\frac{24}{4}=6$$
- Найдем площадь ромба: $$S=6*6*\frac{1}{3}=12$$
Задание 1987
Одна из сторон параллелограмма равна 12, а опущенная на нее высота равна 10. Найдите площадь параллелограмма.
Из формулы площади параллелограмма: $$S=12*10=120$$
Задание 1988
Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а один из углов — 45°. Найдите площадь параллелограмма, делённую на $$\sqrt{2}$$.
Из формулы площади параллелограмма: $$S=12*5*\sin 45=30\sqrt{2}$$. В ответе необходимо найти указать ответ, деленный на $$\sqrt{2}$$, то есть 30
Задание 1990
Площадь параллелограмма ABCD равна 56. Точка E — середина стороны CD. Найдите площадь трапеции AECB.
- Найдем площадь треугольника AED: $$S_{AED}=\frac{1}{2}ED*h=\frac{1}{4}CD*h=\frac{1}{4}S_{ABCD}$$, где h - высота параллелограмма
- Тогда $$S_{AECB}=\frac{3}{4}S_{ABCD}=42$$
Задание 1991
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 14 и 6.
Из формулы площади ромба: $$S=\frac{1}{2}*14*6=42$$
Задание 1992
Сторона ромба равна 9, а расстояние от центра ромба до неё равно 1. Найдите площадь ромба.
- Из треугольника AED: $$S_{AED}=\frac{1}{2}*1*9=4,5$$
- Ромб состоит из четырех равных прямоугольных треугольников, образованных диагоналями ромба, тогда $$S_{ABCD}=4S_{AED}=18$$
Задание 1993
Сторона ромба равна 50, а диагональ равна 80. Найдите площадь ромба.
- Пусть BD=80, тогда по свойству диагоналей ромба: $$ED=\frac{1}{2}BD=40$$
- Из прямоугольного треугольника EAD: $$EA=\sqrt{50^{2}-40^{2}}=30$$, тогда AC=60
- Из формулы площади ромба: $$S=\frac{1}{2}*80*60=2400$$
Задание 1994
Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 1 и HD = 28. Диагональ параллелограмма BD равна 53. Найдите площадь параллелограмма.
- Из прямоугольного треуголььника BDH : $$BH=\sqrt{53^{2}-28^{2}}=45$$
- $$AD=AH+AD=29$$, тогда площадь параллелограмма $$S=45*29=1305$$