Стереометрия

1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$.

2. Подставляем данные: $$DB_{1} = \sqrt{10^2 + 5^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 25 + 100} = \sqrt{225} = 15$$.

Ответ: 15.

1. Объем полного параллелепипеда: $$V_{полн} = AB \cdot BC \cdot AA_{1} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$$.

2. Многогранник $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$ — треугольная призма, занимает половину параллелепипеда (площадь основания в 2 раза меньше).

3. Объем: $$V = \frac{210}{2} = 105$$.

1. Многогранник $$ABCB_{1}$$ — пирамида с основанием $$ABC$$ (прямоугольный треугольник) и вершиной $$B_{1}$$.

2. Площадь основания: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 7 = 31,5$$.

3. Высота пирамиды равна $$BB_{1} = AA_{1} = 6$$, так как ребро $$BB_{1}$$ перпендикулярно плоскости основания.

4. Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 31,5 \cdot 6 = 63$$.

1. Сечение $$ACC_{1}A_{1}$$ — прямоугольник.

2. Находим диагональ основания $$AC$$: $$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$.

3. Сторона $$CC_{1} = AA_{1} = 32$$.

4. Площадь: $$S = CC_{1} \cdot AC = 32 \cdot 5 = 160$$.

1. Прямая $$A_{1}D_{1}$$ параллельна $$AD$$. Искомый угол равен углу между $$AD$$ и $$AC$$.

2. В треугольнике $$ADC$$: $$AD=8$$, $$DC=AB=6$$, $$AC=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$$.

3. $$\sin(\angle DAC) = \frac{DC}{AC} = \frac{6}{10} = 0,6$$.

1. Жидкость образует конус, подобный сосуду с коэффициентом $$k = \frac{3}{4}$$.

2. Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента: $$\frac{V_{жидк}}{V_{сосуда}} = k^3 = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$$.

3. Полный объём сосуда: $$V_{сосуда} = 270 \cdot \frac{64}{27} = 640$$ мл.

4. Нужно долить: $$640 - 270 = 370$$ мл.

1. Площадь основания цилиндра: $$S = \frac{V}{h} = \frac{2800}{16} = 175$$ см².

2. Объём детали равен объёму вытесненной воды: $$V_{детали} = S \cdot \Delta h = 175 \cdot 13 = 2275$$ см³.

1. Общий объём (вода + деталь) увеличился в $$1,8$$ раза: $$V_{общ} = 5 \cdot 1,8 = 9$$ дм³.

2. Объём детали: $$V_{детали} = V_{общ} - V_{воды} = 9 - 5 = 4$$ дм³.

1. Объём жидкости остаётся постоянным: $$V_1 = V_2$$.

2. Диаметр второго сосуда в $$4$$ раза больше: $$r_2 = 4r_1$$.

3. Из равенства объёмов: $$h_2 = h_1 \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = 112 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 112 \cdot \frac{1}{16} = 7$$ см.

1. Объём конуса вычисляется по формуле $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$.

2. При увеличении радиуса в $$k$$ раз объём увеличивается в $$k^2$$ раз.

3. Объём увеличится в $$8^2 = 64$$ раза.

1. Объём конуса вычисляется по формуле $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$.

2. При уменьшении высоты в $$k$$ раз объём уменьшается в $$k$$ раз.

3. Объём уменьшится в $$4$$ раза.

1. По теореме Пифагора находим радиус: $$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{841 - 400} = \sqrt{441} = 21$$.

2. Диаметр основания: $$d = 2r = 42$$.

3. Площадь осевого сечения: $$S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 20 = 420$$.

1. Высота $$h$$, радиус $$r$$ и образующая $$l$$ образуют прямоугольный треугольник.

2. По теореме Пифагора: $$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{58^2 - 42^2} = \sqrt{3364 - 1764} = \sqrt{1600} = 40$$.

3. Диаметр основания: $$d = 2r = 2 \cdot 40 = 80$$.

1. Радиус основания: $$r = \frac{d}{2} = \frac{48}{2} = 24$$.

2. Высота $$h$$, радиус $$r$$ и образующая $$l$$ образуют прямоугольный треугольник.

3. По теореме Пифагора: $$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{45^2 + 24^2} = \sqrt{2025 + 576} = \sqrt{2601} = 51$$.

1. Объём всей призмы: $$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = 7 \cdot 9 = 63$$.

2. Многогранник $$ACA_{1}B_{1}C_{1}$$ составляет $$\frac{2}{3}$$ от объёма призмы.

3. Объём многогранника: $$V = \frac{2}{3} \cdot 63 = 42$$.