ЕГЭ (база) / Задачи на смекалку

1. Разложим число $$1590$$ на простые множители: $$1590 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 53$.

2. Число $$53$$ — простое, значит, оно должно входить в состав одного из сомножителей. Возможные варианты: $$53$$ или $$106$$ ($$53 \cdot 2$$).

3. Если сомножитель равен $$53$$, то он образован цифрами $$5$$ и $$3$$, которые являются допустимыми отметками. Тогда оставшиеся три отметки в произведении дают $$1590 : 53 = 30$$. Разложим $$30$$ на три множителя от $$2$$ до $$5$$: $$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$$.

4. Получаем набор из пяти отметок: $$5$$, $$3$$, $$2$$, $$3$$, $$5$$. Сумма: $$5 + 3 + 2 + 3 + 5 = 18$$. Среднее арифметическое: $$18 : 5 = 3,6$$. По правилам округления $$3,6$$ округляется до $$4$$.

5. Если сомножитель равен $$106$$, то он образован цифрами $$1$$, $$0$$, $$6$$, что недопустимо.

6. Таким образом, итоговая отметка Пети равна $$4$$.

1. Разложим число $$414$$ на простые множители: $$414 = 2 \cdot 3^2 \cdot 23$.

2. Число $$23$$ — простое, значит, оно должно входить в состав одного из сомножителей. Возможные варианты: $$23$$ или $$46$$ ($$23 \cdot 2$$).

3. Если сомножитель равен $$23$$, то он образован цифрами $$2$$ и $$3$$, которые являются допустимыми отметками. Тогда оставшиеся три отметки в произведении дают $$414 : 23 = 18$$. Разложим $$18$$ на три множителя от $$2$$ до $$5$$: $$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$$.

4. Получаем набор из пяти отметок: $$2$$, $$3$$, $$2$$, $$3$$, $$3$$. Проверим сумму: $$2 + 3 + 2 + 3 + 3 = 13$$. Среднее арифметическое: $$13 : 5 = 2,6$$, округляется до $$3$$.

1. Если среди любых $$11$$ грибов есть хотя бы один рыжик, значит, груздей не может быть $$11$$ или больше. Максимальное количество груздей: $$11 - 1 = 10$$.

2. Если среди любых $$16$$ грибов есть хотя бы один груздь, значит, рыжиков не может быть $$16$$ или больше. Максимальное количество рыжиков: $$16 - 1 = 15$$.

3. Проверим сумму максимальных количеств: $$10$$ (груздей) + $$15$$ (рыжиков) = $$25$$ грибов, что совпадает с общим количеством в корзине.

4. Следовательно, рыжиков в корзине ровно $$15$$.

1. Найдём общую сумму всех чисел в таблице: $$119 + 125 + 133 = 377$$.

2. Сумма чисел в каждой строке может быть $$16$$ или $$17$$ (так как она строго больше $$15$$ и строго меньше $$18$$, а числа натуральные).

3. Обозначим количество строк за $$n$$. Тогда общая сумма должна удовлетворять неравенству: $$16 \cdot n \le 377 \le 17 \cdot n$$.

4. Из этого следует: $$n \ge 377 : 17 \approx 22,2$$ и $$n \le 377 : 16 \approx 23,6$$.

5. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, – $$23$$.

1. Каждый поперечный распил увеличивает общее количество кусков ровно на $$1$$.

2. Если бы была всего одна доска, то после $$11$$ распилов получилось бы $$11 + 1 = 12$$ кусков.

3. Но в итоге получилось $$25$$ кусков, что на $$25 - 12 = 13$$ кусков больше.

4. Каждая дополнительная доска добавляет ровно $$1$$ лишний кусок к итоговому количеству. Значит, дополнительных досок было $$13$$.

5. Итого досок: $$1 + 13 = 14$$.

1. Всего столбов $$10$$, и от каждого отходит $$6$$ проводов.

2. Если сложить количество проводов, отходящих от всех столбов, получится $$10 \cdot 6 = 60$$.

3. Но каждый провод соединяет два столба, поэтому его мы посчитали дважды.

4. Значит, всего проводов: $$60 : 2 = 30$$.

1. Семь стран подписали договоры ровно с $$5$$ другими странами. Сумма договоров для этих стран: $$7 \cdot 5 = 35$$.

2. Три оставшиеся страны подписали договоры ровно с $$7$$ другими странами. Сумма договоров для этих стран: $$3 \cdot 7 = 21$$.

3. Общая сумма договоров, посчитанных для каждой страны: $$35 + 21 = 56$$.

4. Так как каждый договор подписан двумя странами, мы посчитали каждый договор дважды. Значит, всего договоров: $$56 : 2 = 28$$.

1. Номер последней страницы перед выпавшими листами — $$298$$ (чётное число).

2. Номер первой страницы после выпавших листов должен быть нечётным и записываться цифрами $$2$$, $$9$$, $$8$$.

3. Возможные нечётные числа из этих цифр: $$289$$, $$829$$, $$298$$ (чётное), $$892$$ (чётное), $$928$$ (чётное), $$982$$ (чётное). Больше $$298$$ — только $$829$$.

4. Значит, первая страница после выпавших листов — $$829$$.

5. Количество выпавших страниц: $$829 - 298 - 1 = 530$$.

6. Количество выпавших листов: $$530 : 2 = 265$$.

1. Каждый прыжок изменяет координату кузнечика на $$+1$$ или $$-1$$.

2. После чётного числа прыжков ($$8$$) кузнечик может оказаться только в точках с чётными координатами.

3. Максимальное удаление от начала координат равно $$8$$ (все прыжки в одну сторону).

4. Возможные координаты: $$-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8$$. Всего $$9$$ точек.

1. Больше всех партий сыграл Коля ($$25$$), следовательно, всего было сыграно не менее $$25$$ партий.

2. В одной из первых двух партий должен был участвовать Миша (иначе первые две партии играли бы Коля и Лёша, и один из них сыграл бы больше). Значит, между партиями Миши может быть не более одной партии без него.

3. Миша сыграл $$12$$ партий, значит, всего партий могло быть не более $$2 \cdot 12 + 1 = 25$$.

4. Следовательно, всего сыграно ровно $$25$$ партий, и Коля участвовал в каждой из них.

5. В каждой партии играют $$2$$ человека, всего мест: $$25 \cdot 2 = 50$$. Лёша сыграл: $$50 - 25 - 12 = 13$$ партий.

1. Если разрезать ленту по красной полоске, одна часть на $$35$$ см длиннее другой. Значит, красная полоска находится на расстоянии $$35 : 2 = 17,5$$ см от середины ленты.

2. Если разрезать ленту по синей полоске, одна часть на $$5$$ см длиннее другой. Значит, синяя полоска находится на расстоянии $$5 : 2 = 2,5$$ см от середины ленты.

3. Так как полоски находятся по разные стороны от середины, расстояние между ними равно сумме расстояний от середины до каждой полоски: $$17,5 + 2,5 = 20$$ см.

1. Если по красным линиям получается $$5$$ кусков, значит, красных линий $$5 - 1 = 4$$.

2. Если по жёлтым линиям получается $$7$$ кусков, значит, жёлтых линий $$7 - 1 = 6$$.

3. Если по зелёным линиям получается $$11$$ кусков, значит, зелёных линий $$11 - 1 = 10$$.

4. Всего линий: $$4 + 6 + 10 = 20$$.

5. Если распилить палку по всем линиям, получится $$20 + 1 = 21$$ кусок.

1. $$13$$ параллелей делят поверхность глобуса на $$13 + 1 = 14$$ поясов.

2. $$25$$ меридианов делят каждый из этих поясов на $$25$$ частей.

3. Общее количество частей равно произведению числа поясов на число частей в каждом поясе: $$14 \cdot 25 = 350$$.

1. За сутки (день и ночь) улитка проползает вверх $$4 - 3 = 1$$ м.

2. В последний день улитка доползёт до вершины днём и ночью уже не будет сползать. Значит, до этого ей нужно проползти $$10 - 4 = 6$$ м.

3. Чтобы проползти $$6$$ м со скоростью $$1$$ м в сутки, улитке потребуется $$6 : 1 = 6$$ дней.

4. На седьмой день улитка проползёт оставшиеся $$4$$ м и окажется на вершине дерева.

1. Стоимость первого метра составляет $$4200$$ рублей.

2. Стоимость каждого следующего метра увеличивается на $$1300$$ рублей, значит, стоимость одиннадцатого метра равна: $$4200 + 1300 \cdot (11 - 1) = 4200 + 1300 \cdot 10 = 4200 + 13000 = 17200$$ рублей.

3. Общая сумма оплаты представляет собой сумму арифметической прогрессии из $$11$$ членов.

4. Вычислим общую стоимость по формуле суммы: $$S_{11} = \frac{4200 + 17200}{2} \cdot 11 = \frac{21400}{2} \cdot 11 = 10700 \cdot 11 = 117700$$ рублей.