ЕГЭ (профиль) / Вычисления и преобразования

1. Переходим к дробным показателям: $$121^{\frac{1}{3}} \cdot 121^{\frac{1}{4}} : 121^{\frac{1}{12}}$$.

2. Складываем и вычитаем показатели: $$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{4+3-1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$.

3. Вычисляем: $$121^{\frac{1}{2}} = \sqrt{121} = 11$$.

1. Используем свойство корней: $$\sqrt[3]{\frac{400 \cdot 25}{80}}$$.

2. Вычисляем подкоренное выражение: $$\frac{10000}{80} = 125$$.

3. Извлекаем корень: $$\sqrt[3]{125} = 5$$.

1. Переходим к дробным показателям: $$10^{\frac{1}{40}} \cdot 10^1 \cdot 10^{\frac{1}{24}} : 10^{\frac{1}{15}}$$.

2. Складываем и вычитаем показатели: $$\frac{1}{40} + 1 + \frac{1}{24} - \frac{1}{15} = 1$$.

3. Вычисляем: $$10^1 = 10$$.

1. Применяем свойство корней: $$\sqrt{1,5} \cdot \sqrt{3,3} = \sqrt{1,5 \cdot 3,3} = \sqrt{4,95}$$.

2. Делим корни: $$\frac{\sqrt{4,95}}{\sqrt{0,55}} = \sqrt{\frac{4,95}{0,55}} = \sqrt{9}$$.

3. Извлекаем корень: $$\sqrt{9} = 3$$.

1. Представляем 15 как произведение: $$15 = 3 \cdot 5$$.

2. Применяем свойство степеней: $$\frac{(3 \cdot 5)^{7,2} \cdot 5^{-5,2}}{3^{6,2}} = \frac{3^{7,2} \cdot 5^{7,2} \cdot 5^{-5,2}}{3^{6,2}}$$.

3. Складываем и вычитаем показатели: $$3^{7,2-6,2} \cdot 5^{7,2-5,2} = 3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$$.

1. Применяем формулу синуса двойного угла в числителе: $$2\sin 98° \cdot \cos 98° = \sin 196°$$.

2. Подставляем: $$\frac{8 \cdot \sin 196°}{\sin 196°} = 8$$.

1. Применяем формулу косинуса двойного угла: $$\sin^2 77° - \cos^2 77° = -\cos154°$$.

2. Подставляем: $$\frac{19 \cdot (-\cos154°)}{2\cos154°}$$.

3. Сокращаем: $$-\frac{19}{2} = -9,5$$.

1. Применяем формулу приведения: $$\sin146° = \sin(180°-34°) = \sin34° = \cos56°$$.

2. Подставляем: $$\sin^2 146° = \cos^2 56°$$, знаменатель $$\sin^2 56° + \cos^2 56° + 1 = 1 + 1 = 2$$.

3. Вычисляем: $$\frac{23}{2} = 11,5$$.

1. Представляем 20 как произведение: $$20^{2,4} = (4 \cdot 5)^{2,4} = 4^{2,4} \cdot 5^{2,4}$$.

2. Делим степени: $$\frac{4^{1,4} \cdot 5^{3,4}}{4^{2,4} \cdot 5^{2,4}} = 4^{1,4-2,4} \cdot 5^{3,4-2,4} = 4^{-1} \cdot 5^1$$.

3. Вычисляем: $$\frac{5}{4} = 1,25$$.

1. Представляем 25 как степень с основанием 5: $$25 = 5^2$$

2. Применяем свойство степеней: $$\frac{5^{6,2}}{(5^2)^{2,1}} = \frac{5^{6,2}}{5^{4,2}}$$

3. Вычитаем показатели: $$5^{6,2-4,2} = 5^2 = 25$$

Ответ: 25

1. Применяем формулу приведения: $$\cos4° = \sin(90°-4°) = \sin86°$$.

2. Подставляем: $$\frac{51\sin86°}{\sin86°} + 8 = 51 + 8 = 59$$.

1. Применяем формулу произведения косинусов: $$\cos 81° \cdot \cos 9° = \frac{1}{2}(\cos 90° + \cos 72°) = \frac{1}{2}\cos 72°$$.

2. Так как $$\sin 162° = \sin 18°$$ и $$\cos 72° = \sin 18°$$, получаем: $$\frac{9\sin 18°}{\frac{1}{2}\sin 18°} = 18$$.

1. Приводим угол: $$\sin392° = \sin(392°-360°) = \sin32°$$.

2. Подставляем: $$\frac{9\sin32°}{\sin32°} = 9$$.

1. Применяем формулу перехода: $$\log_4 3 \cdot \log_3 16 = \log_4 3 \cdot \frac{\log_4 16}{\log_4 3} = \log_4 16$$.

2. Представляем 16 как степень: $$16 = 4^2$$, откуда $$\log_4 16 = 2$$.

1. Применяем свойство логарифмов: $$\log_8 2 + \log_8 32 = \log_8 (2 \cdot 32) = \log_8 64$$.

2. Представляем 64 как степень: $$64 = 8^2$$, откуда $$\log_8 64 = 2$$.