ЕГЭ (профиль) / Текстовые задачи
Задание 7164
Заказ на изготовление $$247$$ деталей первый рабочий выполняет на $$6$$ часов быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на $$6$$ деталей больше?
1. Пусть второй рабочий делает $$x$$ деталей в час, тогда первый $$(x + 6)$$ деталей в час.
2. Время выполнения заказа вторым: $$\frac{247}{x}$$ ч, первым: $$\frac{247}{x + 6}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{247}{x} - \frac{247}{x + 6} = 6$$.
4. Умножаем на $$x(x + 6)$$: $$247(x + 6) - 247x = 6x(x + 6)$$.
5. $$1482 = 6x^2 + 36x \Rightarrow x^2 + 6x - 247 = 0$$.
6. Дискриминант: $$36 + 988 = 1024 = 32^2$$. $$x = \frac{-6 + 32}{2} = 13$$.
Ответ: $$13$$
Задание 7170
Заказ на изготовление $$88$$ деталей первый рабочий выполняет на $$3$$ часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на $$3$$ детали больше, чем второй?
1. Пусть второй рабочий делает $$x$$ деталей в час, тогда первый $$(x + 3)$$ деталей в час.
2. Время выполнения заказа вторым: $$\frac{88}{x}$$ ч, первым: $$\frac{88}{x + 3}$$ ч.
3. Уравнение: $$\frac{88}{x} - \frac{88}{x + 3} = 3$$.
4. Умножаем на $$x(x + 3)$$: $$88(x + 3) - 88x = 3x(x + 3)$$.
5. $$264 = 3x^2 + 9x \Rightarrow x^2 + 3x - 88 = 0$$.
6. Дискриминант: $$9 + 352 = 361 = 19^2$$. $$x = \frac{-3 + 19}{2} = 8$$.
7. Производительность первого рабочего: $$8 + 3 = 11$$ деталей в час.
Ответ: $$11$$
Задание 476
Из $$A$$ в $$B$$ одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью $$55$$ км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на $$6$$ км/ч, в результате чего прибыл в $$B$$ одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.
Задание 7109
Из городов $$A$$ и $$B$$ навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город $$B$$ на $$10$$ часов раньше, чем велосипедист приехал в город $$A$$, а встретились они через $$3$$ часа $$45$$ минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города $$B$$ в город $$A$$ велосипедист?
1. Пусть расстояние между городами $$S$$ км, скорость мотоциклиста $$v_1$$, велосипедиста $$v_2$$.
2. Время до встречи: $$3$$ ч $$45$$ мин = $$\frac{15}{4}$$ ч. Тогда $$\frac{15}{4}(v_1 + v_2) = S$$.
3. Время мотоциклиста до $$B$$: $$\frac{S}{v_1}$$, велосипедиста до $$A$$: $$\frac{S}{v_2}$$.
4. По условию: $$\frac{S}{v_2} - \frac{S}{v_1} = 10$$.
5. Из второго уравнения: $$S = \frac{15}{4}(v_1 + v_2)$$.
6. Подставляем: $$\frac{15(v_1 + v_2)}{4v_2} - \frac{15(v_1 + v_2)}{4v_1} = 10$$.
7. Пусть $$k = \frac{v_1}{v_2}$$, тогда $$\frac{15(k + 1)}{4} - \frac{15(k + 1)}{4k} = 10$$.
8. $$\frac{15(k + 1)(k - 1)}{4k} = 10 \Rightarrow 15(k^2 - 1) = 40k \Rightarrow 3k^2 - 8k - 3 = 0$$.
9. $$k = 3$$ (так как $$k > 0$$).
10. Тогда $$v_1 = 3v_2$$, $$S = \frac{15}{4} \cdot 4v_2 = 15v_2$$.
11. Время велосипедиста: $$\frac{S}{v_2} = \frac{15v_2}{v_2} = 15$$ ч.
Ответ: $$15$$
Задание 7100
Из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расстояние между которыми $$40$$ км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. За час автомобилист проезжает на $$65$$ км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт $$B$$ на $$2$$ часа $$10$$ минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость велосипедиста $$v$$ км/ч, тогда автомобилиста $$(v + 65)$$ км/ч.
2. Время велосипедиста: $$\frac{40}{v}$$ ч, автомобилиста: $$\frac{40}{v + 65}$$ ч.
3. Разница во времени: $$2$$ ч $$10$$ мин = $$\frac{13}{6}$$ ч.
4. Уравнение: $$\frac{40}{v} - \frac{40}{v + 65} = \frac{13}{6}$$.
5. Умножаем на $$v(v + 65)$$: $$40(v + 65) - 40v = \frac{13}{6}v(v + 65)$$.
6. $$2600 = \frac{13}{6}v^2 + \frac{845}{6}v \Rightarrow v^2 + 65v - 1200 = 0$$.
7. По теореме Виета: $$v = 15$$ (так как $$15 \cdot (-80) = -1200$$ и $$15 + (-80) = -65$$).
Ответ: $$15$$
Задание 7036
Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения $$38$$ килограммов изюма, если виноград содержит $$82\%$$ воды, а изюм содержит $$19\%$$ воды?
1. Сухое вещество в винограде: $$100\% - 82\% = 18\%$$.
2. Сухое вещество в изюме: $$100\% - 19\% = 81\%$$.
3. Масса сухого вещества в $$38$$ кг изюма: $$38 \cdot 0,81 = 30,78$$ кг.
4. Пусть масса винограда $$x$$ кг. Тогда $$0,18x = 30,78$$.
5. $$x = 171$$ кг.
Ответ: $$171$$
Задание 7060
Имеется два сосуда. Первый содержит $$100$$ кг, а второй – $$20$$ кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий $$67\%$$ кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий $$77\%$$ кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
1. При смешивании равных масс: $$\frac{p_1 + p_2}{2} = 77\% \Rightarrow p_1 + p_2 = 154\% \Rightarrow p_2 = 154 - p_1$$.
2. Уравнение для смешивания всех растворов: $$100p_1 + 20p_2 = (100 + 20) \cdot 67$$.
3. Подставляем: $$100p_1 + 20(154 - p_1) = 120 \cdot 67$$.
4. $$100p_1 + 3080 - 20p_1 = 8040 \Rightarrow 80p_1 = 4960 \Rightarrow p_1 = 62\%$$.
5. Масса кислоты в первом сосуде: $$100 \cdot 0,62 = 62$$ кг.
Ответ: $$62$$
Задание 7055
Имеется два сосуда. Первый содержит $$40$$ кг, а второй – $$25$$ кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий $$30\%$$ кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий $$36\%$$ кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?
1. При смешивании равных масс: $$\frac{p_1 + p_2}{2} = 36\% \Rightarrow p_1 + p_2 = 72\% \Rightarrow p_2 = 72 - p_1$$.
2. Уравнение для смешивания всех растворов: $$40p_1 + 25p_2 = (40 + 25) \cdot 30$$.
3. Подставляем: $$40p_1 + 25(72 - p_1) = 65 \cdot 30$$.
4. $$40p_1 + 1800 - 25p_1 = 1950 \Rightarrow 15p_1 = 150 \Rightarrow p_1 = 10$$.
Ответ: $$10$$
Задание 7035
Имеется два сплава. Первый содержит $$10\%$$ никеля, второй – $$35\%$$ никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой $$175$$ кг, содержащий $$25\%$$ никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
1. Пусть масса первого сплава $$x$$ кг, второго — $$y$$ кг.
2. Система уравнений: $$\begin{cases} x + y = 175 \\ 0,1x + 0,35y = 0,25 \cdot 175 \end{cases}$$
3. Из первого уравнения $$x = 175 - y$$. Подставляем во второе: $$0,1(175 - y) + 0,35y = 43,75$$.
4. $$17,5 - 0,1y + 0,35y = 43,75 \Rightarrow 0,25y = 26,25 \Rightarrow y = 105$$.
5. Тогда $$x = 175 - 105 = 70$$.
6. Разница масс: $$105 - 70 = 35$$ кг.
Ответ: $$35$$
Задание 7028
Имеется два сплава. Первый сплав содержит $$40\%$$ меди, второй – $$25\%$$ меди. Масса первого сплава больше массы второго на $$10$$ кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий $$35\%$$ меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
1. Пусть масса второго сплава $$x$$ кг, тогда масса первого $$(x + 10)$$ кг.
2. Масса меди в первом: $$0,40(x + 10)$$.
3. Масса меди во втором: $$0,25x$$.
4. Масса третьего сплава: $$2x + 10$$. Масса меди в нем: $$0,35(2x + 10)$$.
5. Уравнение: $$0,40(x + 10) + 0,25x = 0,35(2x + 10)$$.
6. $$0,40x + 4 + 0,25x = 0,70x + 3,5 \Rightarrow 0,65x + 4 = 0,70x + 3,5 \Rightarrow 0,05x = 0,5 \Rightarrow x = 10$$.
7. Масса третьего сплава: $$2 \cdot 10 + 10 = 30$$ кг.
Ответ: $$30$$
Задание 7024
Имеется два сплава. Первый сплав содержит $$5\%$$ меди, второй – $$11\%$$ меди. Масса второго сплава больше массы первого на $$8$$ кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий $$10\%$$ меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
1. Пусть масса первого сплава $$x$$ кг, тогда масса второго $$(x + 8)$$ кг.
2. Масса меди в первом сплаве: $$0,05x$$, во втором: $$0,11(x + 8)$$.
3. Масса третьего сплава: $$x + x + 8 = 2x + 8$$ кг. Масса меди в нем: $$0,10(2x + 8)$$.
4. Уравнение: $$0,05x + 0,11(x + 8) = 0,10(2x + 8)$$.
5. Раскрываем скобки: $$0,05x + 0,11x + 0,88 = 0,20x + 0,80$$.
6. $$0,16x + 0,88 = 0,20x + 0,80 \Rightarrow 0,04x = 0,08 \Rightarrow x = 2$$.
7. Масса третьего сплава: $$2 \cdot 2 + 8 = 12$$ кг.
Ответ: $$12$$
Задание 7146
Катер в $$05$$:$$00$$ вышел по течению реки из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расположенный в $$30$$ км от $$A$$. Пробыв $$2$$ часа в пункте $$B$$, катер отправился назад и вернулся в пункт $$A$$ в $$23$$:$$00$$ того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки $$1$$ км/ч.
1. Общее время с $$05$$:$$00$$ до $$23$$:$$00$$ — $$18$$ часов. С учётом стоянки $$2$$ ч, время движения: $$18 - 2 = 16$$ ч.
2. Пусть собственная скорость катера $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 1)$$ км/ч, против: $$(v - 1)$$ км/ч.
3. Уравнение: $$\frac{30}{v + 1} + \frac{30}{v - 1} = 16$$.
4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{30(v - 1) + 30(v + 1)}{v^2 - 1} = 16$$.
5. $$\frac{60v}{v^2 - 1} = 16 \Rightarrow 60v = 16v^2 - 16$$.
6. $$16v^2 - 60v - 16 = 0 \Rightarrow 4v^2 - 15v - 4 = 0$$.
7. Дискриминант: $$225 + 64 = 289 = 17^2$$.
8. $$v = \frac{15 + 17}{8} = \frac{32}{8} = 4$$ км/ч.
Ответ: $$4$$
Задание 7154
Моторная лодка в $$11$$:$$00$$ вышла из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расположенный в $$15$$ км от $$A$$. Пробыв в пункте $$B$$ $$1$$ час $$20$$ минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт $$A$$ в $$17$$:$$00$$ того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна $$7$$ км/ч.
1. Общее время с $$11$$:$$00$$ до $$17$$:$$00$$ — $$6$$ часов. С учётом стоянки $$1$$ ч $$20$$ мин = $$\frac{4}{3}$$ ч, время движения: $$6 - \frac{4}{3} = \frac{14}{3}$$ ч.
2. Пусть скорость течения $$x$$ км/ч. По течению: $$(7 + x)$$ км/ч, против: $$(7 - x)$$ км/ч.
3. Уравнение: $$\frac{15}{7 + x} + \frac{15}{7 - x} = \frac{14}{3}$$.
4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{15(7 - x) + 15(7 + x)}{49 - x^2} = \frac{14}{3}$$.
5. $$\frac{210}{49 - x^2} = \frac{14}{3} \Rightarrow 49 - x^2 = 45 \Rightarrow x^2 = 4$$.
6. $$x = 2$$ км/ч.
Ответ: $$2$$
Задание 7140
Моторная лодка прошла против течения реки $$135$$ км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $$6$$ часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна $$12$$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость течения $$x$$ км/ч. Против течения: $$(12 - x)$$ км/ч, по течению: $$(12 + x)$$ км/ч.
2. Уравнение: $$\frac{135}{12 - x} - \frac{135}{12 + x} = 6$$.
3. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{135(12 + x) - 135(12 - x)}{144 - x^2} = 6$$.
4. $$\frac{270x}{144 - x^2} = 6 \Rightarrow 270x = 864 - 6x^2$$.
5. $$6x^2 + 270x - 864 = 0 \Rightarrow x^2 + 45x - 144 = 0$$.
6. По теореме Виета: $$x = 3$$ (так как $$3 \cdot (-48) = -144$$ и $$3 + (-48) = -45$$).
Ответ: $$3$$
Задание 7144
Моторная лодка прошла против течения реки $$143$$ км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $$2$$ часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна $$1$$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.
1. Пусть скорость лодки в неподвижной воде $$v$$ км/ч. Против течения: $$(v - 1)$$ км/ч, по течению: $$(v + 1)$$ км/ч.
2. Уравнение: $$\frac{143}{v - 1} - \frac{143}{v + 1} = 2$$.
3. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{143(v + 1) - 143(v - 1)}{v^2 - 1} = 2$$.
4. $$\frac{286}{v^2 - 1} = 2 \Rightarrow v^2 - 1 = 143 \Rightarrow v^2 = 144$$.
5. $$v = 12$$ км/ч.
Ответ: $$12$$