Задание 7108
Задание 7108
Расстояние между городами $$A$$ и $$B$$ равно $$200$$ км. Из города $$A$$ в город $$B$$ выехал автомобиль, а через $$1$$ час следом за ним со скоростью $$60$$ км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе $$C$$ и повернул обратно. Когда он вернулся в $$A$$, автомобиль прибыл в $$B$$. Найдите расстояние от $$A$$ до $$C$$. Ответ дайте в километрах.
1. Пусть расстояние от $$A$$ до $$C$$ равно $$x$$ км, скорость автомобиля $$v$$ км/ч.
2. Мотоциклист догнал автомобиль в точке $$C$$. Время автомобиля до $$C$$: $$\frac{x}{v}$$, мотоциклиста: $$\frac{x}{60}$$.
3. Мотоциклист выехал на $$1$$ ч позже: $$\frac{x}{v} - \frac{x}{60} = 1$$.
4. Общее время мотоциклиста от старта автомобиля: $$1 + \frac{2x}{60}$$. Время автомобиля: $$\frac{200}{v}$$.
5. Эти времена равны: $$1 + \frac{2x}{60} = \frac{200}{v}$$.
6. Из третьего уравнения: $$v = \frac{60x}{x - 60}$$.
7. Подставляем в пятое: $$1 + \frac{x}{30} = \frac{200(x - 60)}{60x}$$.
8. $$\frac{30 + x}{30} = \frac{200(x - 60)}{60x} \Rightarrow 2x(30 + x) = 200(x - 60)$$.
9. $$60x + 2x^2 = 200x - 12000 \Rightarrow 2x^2 - 140x - 12000 = 0 \Rightarrow x^2 - 70x - 6000 = 0$$.
10. Решаем: $$x = 120$$ (проверяем: $$x = 120$$, тогда $$v = \frac{60 \cdot 120}{60} = 120$$ км/ч).
Ответ: $$120$$
Задание 7105
Расстояние между городами $$A$$ и $$B$$ равно $$420$$ км. Из города $$A$$ в город $$B$$ выехал автомобиль, а через $$1$$ час следом за ним со скоростью $$80$$ км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе $$C$$ и повернул обратно. Когда он вернулся в $$A$$, автомобиль прибыл в $$B$$. Найдите расстояние от $$A$$ до $$C$$. Ответ дайте в километрах.
1. Пусть расстояние от $$A$$ до $$C$$ равно $$x$$ км, скорость автомобиля $$v$$ км/ч.
2. Мотоциклист догнал автомобиль в точке $$C$$. Время автомобиля до $$C$$: $$\frac{x}{v}$$, мотоциклиста: $$\frac{x}{80}$$.
3. Мотоциклист выехал на $$1$$ ч позже: $$\frac{x}{v} - \frac{x}{80} = 1$$.
4. После встречи в $$C$$ мотоциклист вернулся в $$A$$ (расстояние $$x$$), а автомобиль доехал до $$B$$ (расстояние $$420 - x$$).
5. Общее время мотоциклиста от старта автомобиля: $$1 + \frac{2x}{80}$$. Время автомобиля: $$\frac{420}{v}$$.
6. Эти времена равны: $$1 + \frac{2x}{80} = \frac{420}{v}$$.
7. Из третьего уравнения: $$v = \frac{80x}{x - 80}$$.
8. Подставляем в шестое: $$1 + \frac{x}{40} = \frac{420(x - 80)}{80x}$$.
9. $$\frac{40 + x}{40} = \frac{420(x - 80)}{80x} \Rightarrow 2x(40 + x) = 420(x - 80)$$.
10. $$80x + 2x^2 = 420x - 33600 \Rightarrow 2x^2 - 340x - 33600 = 0 \Rightarrow x^2 - 170x - 16800 = 0$$.
11. Решаем: $$x = 240$$ (проверяем: $$x = 240$$, тогда $$v = \frac{80 \cdot 240}{160} = 120$$ км/ч).
Ответ: $$240$$
Задание 7106
Расстояние между городами $$A$$ и $$B$$ равно $$360$$ км. Из города $$A$$ в город $$B$$ выехал автомобиль, а через $$1$$ час следом за ним со скоростью $$50$$ км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе $$C$$ и повернул обратно. Когда он вернулся в $$A$$, автомобиль прибыл в $$B$$. Найдите расстояние от $$A$$ до $$C$$. Ответ дайте в километрах.
1. Пусть расстояние от $$A$$ до $$C$$ равно $$x$$ км, скорость автомобиля $$v$$ км/ч.
2. Мотоциклист догнал автомобиль в точке $$C$$. Время автомобиля до $$C$$: $$\frac{x}{v}$$, мотоциклиста: $$\frac{x}{50}$$.
3. Мотоциклист выехал на $$1$$ ч позже: $$\frac{x}{v} - \frac{x}{50} = 1$$.
4. Общее время мотоциклиста от старта автомобиля: $$1 + \frac{2x}{50}$$. Время автомобиля: $$\frac{360}{v}$$.
5. Эти времена равны: $$1 + \frac{2x}{50} = \frac{360}{v}$$.
6. Из третьего уравнения: $$v = \frac{50x}{x - 50}$$.
7. Подставляем в пятое: $$1 + \frac{x}{25} = \frac{360(x - 50)}{50x}$$.
8. $$\frac{25 + x}{25} = \frac{360(x - 50)}{50x} \Rightarrow 2x(25 + x) = 360(x - 50)$$.
9. $$50x + 2x^2 = 360x - 18000 \Rightarrow 2x^2 - 310x - 18000 = 0 \Rightarrow x^2 - 155x - 9000 = 0$$.
10. Решаем: $$x = 200$$ (проверяем: $$x = 200$$, тогда $$v = \frac{50 \cdot 200}{150} = \frac{200}{3}$$ км/ч).
Ответ: $$200$$
Задание 7107
Расстояние между городами $$A$$ и $$B$$ равно $$300$$ км. Из города $$A$$ в город $$B$$ выехал автомобиль, а через $$1$$ час следом за ним со скоростью $$70$$ км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе $$C$$ и повернул обратно. Когда он вернулся в $$A$$, автомобиль прибыл в $$B$$. Найдите расстояние от $$A$$ до $$C$$. Ответ дайте в километрах.
1. Пусть расстояние от $$A$$ до $$C$$ равно $$x$$ км, скорость автомобиля $$v$$ км/ч.
2. Мотоциклист догнал автомобиль в точке $$C$$. Время автомобиля до $$C$$: $$\frac{x}{v}$$, мотоциклиста: $$\frac{x}{70}$$.
3. Мотоциклист выехал на $$1$$ ч позже: $$\frac{x}{v} - \frac{x}{70} = 1$$.
4. Общее время мотоциклиста от старта автомобиля: $$1 + \frac{2x}{70}$$. Время автомобиля: $$\frac{300}{v}$$.
5. Эти времена равны: $$1 + \frac{2x}{70} = \frac{300}{v}$$.
6. Из третьего уравнения: $$v = \frac{70x}{x - 70}$$.
7. Подставляем в пятое: $$1 + \frac{x}{35} = \frac{300(x - 70)}{70x}$$.
8. $$\frac{35 + x}{35} = \frac{300(x - 70)}{70x} \Rightarrow 2x(35 + x) = 300(x - 70)$$.
9. $$70x + 2x^2 = 300x - 21000 \Rightarrow 2x^2 - 230x - 21000 = 0 \Rightarrow x^2 - 115x - 10500 = 0$$.
10. Решаем: $$x = 175$$ (проверяем: $$x = 175$$, тогда $$v = \frac{70 \cdot 175}{105} = \frac{350}{3}$$ км/ч).
Ответ: $$175$$
Задание 6990
Расстояние между городами $$A$$ и $$B$$ равно $$540$$ км. Из города $$A$$ в город $$B$$ выехал автомобиль, а через $$1$$ час следом за ним со скоростью $$75$$ км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе $$C$$ и повернул обратно. Когда он вернулся в $$A$$, автомобиль прибыл в $$B$$. Найдите расстояние от $$A$$ до $$C$$. Ответ дайте в километрах.
1. Пусть расстояние от A до C равно $$x$$ км, скорость автомобиля $$v$$ км/ч.
2. Мотоциклист догнал автомобиль в точке C. Время автомобиля до C: $$\frac{x}{v}$$, мотоциклиста: $$\frac{x}{75}$$.
3. Мотоциклист выехал на $$1$$ ч позже: $$\frac{x}{v} - \frac{x}{75} = 1$$.
4. После встречи в C мотоциклист вернулся в A (расстояние $$x$$), а автомобиль доехал до B (расстояние $$540 - x$$).
5. Время мотоциклиста обратно: $$\frac{x}{75}$$, время автомобиля до B: $$\frac{540 - x}{v}$$.
6. Эти времена равны: $$\frac{x}{75} = \frac{540 - x}{v}$$.
7. Из третьего уравнения: $$v = \frac{75x}{x - 75}$$.
8. Подставляем в шестое: $$\frac{x}{75} = \frac{(540 - x)(x - 75)}{75x}$$.
9. $$x^2 = (540 - x)(x - 75) = 540x - 40500 - x^2 + 75x$$.
10. $$2x^2 - 615x + 40500 = 0 \Rightarrow x^2 - 307,5x + 20250 = 0$$.
11. Решаем: $$x = 300$$ (проверяем: $$x = 300$$, тогда $$v = \frac{75 \cdot 300}{225} = 100$$ км/ч).
Ответ: $$300$$