ЕГЭ (база) / Числа и их свойства

1. Число кратно $$15$$, значит, оно должно делиться на $$3$$ и на $$5$$. Последняя цифра должна быть $$0$$ или $$5$$, а сумма цифр должна делиться на $$3$$.

2. Так как произведение цифр больше $$0$$, последняя цифра не может быть $$0$$. Значит, последняя цифра $$5$$.

3. Подбираем цифры так, чтобы произведение было меньше $$25$$. Попробуем цифры $$1, 1, 2, 5$$: произведение $$1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 5 = 10$$. Сумма цифр: $$1 + 1 + 2 + 5 = 9$$, делится на $$3$$ ✓.

4. Составляем число, оканчивающееся на $$5$$. Берём $$1125$$.

5. Проверка: $$1125 : 15 = 75$$. Произведение цифр: $$1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 5 = 10$$ (больше $$0$$, меньше $$25$$) ✓

1. Число кратно $$24$$, значит, оно должно делиться на $$3$$ и на $$8$$. Делимость на $$8$$: последние три цифры должны образовывать число, кратное $$8$$. Делимость на $$3$$: сумма цифр должна делиться на $$3$$.

2. Разложим $$16$$ на произведение четырёх цифр: $$16 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 8$$.

3. Сумма цифр: $$1 + 1 + 2 + 8 = 12$$, делится на $$3$$ ✓.

4. Составляем число из цифр $$1, 1, 2, 8$$. Последние три цифры должны делиться на $$8$$. Проверяем $$1128$$: $$128 : 8 = 16$$. $$1128 : 24 = 47$$. Произведение цифр: $$1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 8 = 16$$ ✓

1. Число кратно $$55$$, значит, оно должно делиться на $$5$$ и на $$11$$. Все цифры нечётные и различные.

2. Для делимости на $$5$$ последняя цифра должна быть $$5$$. Для делимости на $$11$$ разность сумм цифр на чётных и нечётных позициях должна быть $$0$$.

3. Подходит набор $$\{3, 5, 7, 9\}$$ (сумма $$24$$). Пары с одинаковой суммой: $$(3, 9)$$ и $$(5, 7)$$.

4. Так как последняя цифра $$5$$, ставим её на чётную позицию, а $$7$$ — на другую чётную. На нечётные позиции ставим $$3$$ и $$9$$. Получаем $$3795$$. Проверка: $$3795 : 55 = 69$$. Все условия выполнены ✓

1. Число делится на $$24$$, значит, оно должно делиться на $$3$$ и на $$8$$. Делимость на $$3$$: сумма цифр должна делиться на $$3$$. Пусть $$k$$ — количество двоек, тогда сумма цифр: $$2k + (6-k) = k + 6$$. Чтобы сумма делилась на $$3$$, нужно $$k = 0, 3$$ или $$6$$.

2. Берём $$k = 3$$: три двойки и три единицы. Сумма цифр: $$9$$ ✓.

3. Делимость на $$8$$: последние три цифры должны образовывать число, кратное $$8$$. Из цифр $$1$$ и $$2$$: $$112 : 8 = 14$$ ✓.

4. Составляем число $$122112$$. Проверка: $$122112 : 24 = 5088$$. Все условия выполнены ✓

1. Пусть исходное число $$\overline{abcd}$$, обратное — $$\overline{dcba}$$. Разность: $$\overline{abcd} - \overline{dcba} = 1638$$.

2. Число кратно $$5$$, значит $$d = 5$$. В разряде единиц: $$15 - a = 8$$, откуда $$a = 7$$.

3. Получаем уравнение: $$999 \cdot 7 + 90(b - c) = 6633$$, откуда $$b - c = -4$$, то есть $$c - b = 4$$.

4. Берём $$b = 0$$, $$c = 4$$. Проверяем число $$7045$$: обратное $$5407$$. $$7045 - 5407 = 1638$$ ✓.

1. Так как $$B = 2A$$, число $$A$$ может начинаться с $$1$$ или $$2$$.

2. Перебираем возможные варианты для $$A$$, большие $$1500$$: $$1627, 1672, 1726, 1762, 2167, \dots$$

3. Проверяем условие $$B = 2A$$ и состав цифр $$B$$ из $$\{2, 3, 4, 5\}$$: $$2 \cdot 1627 = 3254$$ — цифры $$2, 3, 4, 5$$ подходят.