Задание 8817
Задание 8817
Найдите четырёхзначное число, кратное $$55$$, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
1. Число кратно $$55$$, значит, оно должно делиться на $$5$$ и на $$11$$. Все цифры нечётные и различные.
2. Для делимости на $$5$$ последняя цифра должна быть $$5$$. Для делимости на $$11$$ разность сумм цифр на чётных и нечётных позициях должна быть $$0$$.
3. Подходит набор $$\{3, 5, 7, 9\}$$ (сумма $$24$$). Пары с одинаковой суммой: $$(3, 9)$$ и $$(5, 7)$$.
4. Так как последняя цифра $$5$$, ставим её на чётную позицию, а $$7$$ — на другую чётную. На нечётные позиции ставим $$3$$ и $$9$$. Получаем $$3795$$. Проверка: $$3795 : 55 = 69$$. Все условия выполнены ✓
Задание 8815
Найдите четырёхзначное число, кратное $$33$$, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
1. Число кратно $$33$$, значит, оно должно делиться на $$3$$ и на $$11$$. Все цифры нечётные и различные — выбираем из набора $$\{1, 3, 5, 7, 9\}$$.
2. Сумма четырёх таких цифр должна делиться на $$3$$. Подходит набор $$\{3, 5, 7, 9\}$$ (сумма $$24$$).
3. Для делимости на $$11$$ разность сумм цифр на чётных и нечётных позициях должна быть равна $$0$$ (так как сумма всех цифр чётная). Разбиваем набор на пары с одинаковой суммой: $$(3, 9)$$ и $$(5, 7)$$.
4. Составляем число $$3597$$. Проверка: $$3597 : 33 = 109$$. Все условия выполнены ✓
Задание 8816
Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное $$45$$, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
1. Число кратно $$45$$, значит, оно должно делиться на $$5$$ и на $$9$$. Все цифры нечётные и различные.
2. Для делимости на $$5$$ последняя цифра должна быть $$5$$ (так как $$0$$ — чётная).
3. Сумма четырёх цифр должна делиться на $$9$$. Подходит набор $$\{1, 3, 5, 9\}$$ (сумма $$18$$).
4. Составляем число, оканчивающееся на $$5$$: $$1395$$. Проверка: $$1395 : 45 = 31$$. Все условия выполнены ✓
Задание 8818
Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное $$25$$, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
1. Число кратно $$25$$, значит, оно должно оканчиваться на $$00$$, $$25$$, $$50$$ или $$75$$.
2. Так как все цифры нечётные и различные, число может оканчиваться только на $$75$$ (цифра $$2$$ чётная, $$0$$ чётная).
3. Оставшиеся две цифры выбираем из набора $$\{1, 3, 9\}$$. Составляем число $$1375$$.
4. Проверка: $$1375 : 25 = 55$$. Все условия выполнены ✓
Задание 8819
Найдите четырёхзначное число, кратное $$45$$, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
1. Число кратно $$45$$, значит, оно должно делиться на $$5$$ и на $$9$$. Все цифры чётные и различные — выбираем из набора $$\{0, 2, 4, 6, 8\}$$.
2. Для делимости на $$5$$ последняя цифра должна быть $$0$$ (так как $$5$$ нечётная).
3. Сумма четырёх цифр должна делиться на $$9$$. Подходит набор $$\{0, 4, 6, 8\}$$ (сумма $$18$$).
4. Составляем число, оканчивающееся на $$0$$: $$4680$$. Проверка: $$4680 : 45 = 104$$. Все условия выполнены ✓
Задание 8820
Найдите четырёхзначное число, кратное $$66$$, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
1. Число кратно $$66$$, значит, оно должно делиться на $$2$$, $$3$$ и $$11$$. Все цифры чётные и различные.
2. Сумма четырёх цифр должна делиться на $$3$$, а разность сумм цифр на чётных и нечётных позициях должна быть $$0$$. Подходит набор $$\{0, 2, 4, 6\}$$ (сумма $$12$$).
3. Разбиваем на пары с одинаковой суммой: $$(0, 6)$$ и $$(2, 4)$$.
4. Первая цифра не может быть $$0$$, поэтому ставим $$6$$ на первое место, $$0$$ — на третье. На чётные позиции ставим $$2$$ и $$4$$. Получаем $$6204$$. Проверка: $$6204 : 66 = 94$$. Все условия выполнены ✓