(C6) Геометрическая задача повышенной сложности
Задание 3191
В трапеции $$ABCD$$ с боковыми сторонами $$AB=9$$ и $$CD=5$$ биссектриса угла $$D$$ пересекает биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно, а биссектриса угла $$B$$ пересекает те же две биссектрисы в точках $$L$$ и $$K$$, причём точка $$K$$ лежит на основании $$AD$$. Найдите отношение $$MN:KL$$, если $$LM:KN=3:7$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$\angle ABK=\angle CBK$$ (BL-биссектриса ), $$\angle CBK=\angle AKB$$ (накрест лежащие) $$\Rightarrow AB=AK=9$$; AL-биссектриса , медиана и высота равнобедренного $$\Delta ABK$$: $$AL\perp BK$$ и $$BL\perp LK(1)$$
2) Аналогично из $$\Delta CDK$$ : $$CD=DK=5$$; $$DN\perp CK$$; $$CN=NK$$. С учетом (1) - LN-средняя линия $$\Delta BKC$$ и AD=14
3) $$MK\cap LN=Q$$; $$KM\cap BC=P$$. Тогда : $$LN\left | \right |BC$$, $$BC\left | \right |AD\Rightarrow$$ $$LN\left | \right |AD$$ и : $$\Delta LMN\sim \Delta AMD\Rightarrow$$ $$QN:QL=KD:KA=5:9\Rightarrow$$ $$QL=\frac{9 QN}{5}(2)$$
4) $$\angle MLN=\angle MNK=90\Rightarrow$$ около $$MNKL$$ можно описать окружность ($$\angle MLK+\angle MNK=180$$) $$\Rightarrow \Delta LMQ\sim \Delta QNM$$: $$\frac{LM}{NK}=\frac{MQ}{QN}=\frac{3}{7}(3)$$
5) $$\Delta LQK\sim \Delta MQN\Rightarrow$$ $$\frac{MN}{LK}=\frac{MQ}{QL}$$. С учетом (2) : $$\frac{NQ}{QL}=\frac{MQ}{\frac{9QN}{5}}=$$$$\frac{5MQ}{9 QN}(3)$$. С учетом (3): $$\frac{5 MQ}{9 QN}=\frac{5}{9}*\frac{3}{7}=$$$$\frac{5}{21}=\frac{MN}{LK}$$
Задание 1894
В трапеции проведён отрезок, параллельный основаниям и делящий её на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны $$24\sqrt{2}$$ и $$7\sqrt{2}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2635
В трапецию, у которой меньшее основание равно $$5$$, вписана окружность. Одна из боковых сторон трапеции делится точкой касания на отрезки $$9$$ и $$4$$, считая от большего основания. Найдите площадь трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3474
В треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$AD$$ делит сторону $$BC$$ на отрезки $$BD$$ и $$DC$$, причем $$BD:DC=3:2$$. На стороне $$AC$$ выбрана точка $$E$$ такая, что биссектриса $$AD$$ пересекает $$BE$$ в точке $$F$$ и $$BF:FE=5:2$$. Найдите площадь четырехугольника $$FDCE$$, если площадь треугольника $$ABC$$ равна $$70$$ см2 .
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) По т. Менелая из $$\Delta ADC:$$
$$\frac{BF}{FE}*\frac{EA}{AC}*\frac{CD}{BD}=1\Rightarrow$$ $$\frac{EA}{AC}=\frac{2}{5}*\frac{3}{2}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}$$;
2) по т. Менелая $$\Delta BEC$$:
$$\frac{AF}{FD}*\frac{DB}{BC}*\frac{CE}{EA}=1\Rightarrow \frac{AF}{FD}=\frac{5}{3}*\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$$
3) $$S_{ADC}= \frac{DC}{BC}; S_{ABC}=\frac{2}{5}*70=28$$
4) $$\frac{S_{AFE}}{S_{ADC}}=\frac{AF*AE}{AD*AC}=\frac{\frac{5}{7}AD*\frac{3}{5}AC}{AD*AC}=\frac{3}{7}$$, тогда $$S_{FDCE}=\frac{4}{7}*S_{ADC}=\frac{4}{7}*28=16$$
Задание 2951
В треугольнике $$ABC$$ биссектрисы $$AD$$ и $$BE$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите отношение площади четырехугольника $$DOEC$$ к площади треугольника $$ABC$$, если $$AC:AB:BC = 4:3:2$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$AC=4x; AB=3x;BC=2x$$.
2) По свойству биссектрисы $$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4}\Rightarrow$$ $$BD=\frac{3}{7}BC=\frac{6x}{7}$$; $$DC=\frac{4}{7}BC=\frac{8x}{7}$$. Аналогично, $$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$ $$AE=\frac{3}{5}AC=\frac{12x}{5}$$; $$EC=\frac{2}{5}AC=\frac{8x}{5}$$
3) Пусть $$EH\left | \right |OD\Rightarrow$$ по т. Фалеса : $$\frac{AE}{EC}=\frac{DH}{HC}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$ $$DH=\frac{3}{5} DC=\frac{24x}{35}$$$$\Rightarrow$$ $$BH=\frac{54x}{35}$$
4)Пусть $$S_{ABCD}=S$$ $$\Rightarrow$$ при этом $$S_{BEC}=\frac{EC}{AC}S=\frac{2}{5}S$$; $$S_{BEH}=\frac{BH}{BC}S_{BEC}=$$$$\frac{54}{70}*\frac{2}{5}S=\frac{54S}{175}$$
5) т.к. $$OD\left | \right |EH$$, то $$\frac{S_{OBD}}{S_{BEH}}=(\frac{BD}{BH})^{2}=\frac{25}{81}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{2 S}{3*7}=\frac{2S}{21}\Rightarrow$$ $$S_{DOEC}=S_{BEC}-S_{OBD}=$$$$\frac{2}{5}S-\frac{2S}{21}=\frac{32 S}{105}\Rightarrow$$$$ \frac{S_{DOEC}}{S_{ABC}}=\frac{32}{105}$$
Задание 4393
В треугольнике $$ABC$$ из вершин $$A$$ и $$B$$ проведены отрезки $$AK$$ и $$BE$$, причем точки $$K$$ и $$E$$ лежат на сторонах $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Отрезки $$AK$$ и $$BE$$ пересекаются в точке $$M$$ так, что $$AM:MK = 5$$, $$BM:ME = 2$$. Найдите отношения $$AE:EC$$ и $$BK:KC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2336
В треугольнике $$ABC$$ известны длины сторон $$AB=28$$, $$AC=56$$, точка $$O$$ - центр окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Прямая $$BD$$, перпендикулярная прямой $$AO$$, пересекает сторону $$AC$$ в точке $$D$$. Найдите $$CD$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 620
В треугольнике $$ABC$$ на его медиане $$BM$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$BK:KM=4:1$$. Прямая $$AK$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$P$$. Найдите отношение площади треугольника $$BKP$$ к площади треугольника $$ABC$$.
1) Пусть $$S_{ABC}=S$$. Тогда $$S_{ABM}=S_{BMC}=\frac{S}{2}$$.
2) Пусть $$ML||KP$$. По теореме Фалеса: $$\frac{AM}{MC}=\frac{PL}{LC}=\frac{1}{1}$$; $$\frac{BK}{KM}=\frac{BP}{PL}=\frac{4}{1}$$.
Тогда $$\frac{BP}{BC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$.
3) $$\frac{S_{BKP}}{S_{BMC}}=\frac{BK\cdot BP}{BM\cdot BC}=\frac{4\cdot2}{5\cdot3}=\frac{8}{15}\Rightarrow S_{BKP}=\frac{8}{15}\cdot\frac{S}{2}=\frac{4}{15}S\Rightarrow\frac{S_{BKP}}{S_{ABC}}=\frac{4}{15}$$
Задание 2720
В треугольнике $$ABC$$ на сторонах $$AB$$ и $$AC$$ взяты точки $$M$$ и $$N$$ соответственно так, что $$AM:MB = 3:2$$ и $$AN:NC = 4:5$$. В каком отношении прямая, проходящая через точку $$M$$ параллельно $$BC$$, делит отрезок $$BN$$?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3048
В треугольнике $$ABC$$ площадью $$90$$ см2 биссектриса $$AD$$ делит сторону $$BC$$ на отрезки $$BD$$ и $$CD$$, причём $$BD:CD=2:3$$. Отрезок $$BL$$ пересекает биссектрису $$AD$$ в точке $$E$$ и делит сторону $$AC$$ на отрезки $$AL$$ и $$CL$$ такие, что $$AL:CL=1:2$$. Найдите площадь четырёхугольника $$EDCL$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть $$AL=y\Rightarrow$$ $$LC=2y; AC=3y$$
1) $$S)_{ABC}=90$$; $$\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}\Rightarrow$$ $$S_{ABD}=\frac{2}{5}S_{ABC}=36$$. $$S_{ADC}=\frac{3}{5}S_{ABC}=54$$
2) Пусть $$DK\left | \right |EL \Rightarrow$$ по т. Фалеса : $$\frac{CK}{KL}=\frac{CD}{DB}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$$$CK=\frac{3}{5}CL=\frac{6}{5}y$$. $$KL=\frac{2}{5}CL=\frac{4}{5}y$$
3) По т. Фалеса для $$\angle DAC$$: $$\frac{AE}{ED}=\frac{AL}{LK}=$$$$\frac{y}{0,8 y}=\frac{5}{4}\Rightarrow$$ $$AE=\frac{5}{9}AD$$
4) $$\frac{S_{AEL}}{S_{ADC}}=\frac{AE*AL}{AD*AC}=\frac{5}{27}\Rightarrow$$ $$S_{DELC}=\frac{22}{27}S_{ADC}=44$$
Задание 3836
В треугольнике $$ABC$$ точка $$D$$ на стороне $$BC$$ и точка $$F$$ на стороне $$AC$$ расположены так, что $$BD:DC=3:2$$, $$AF:FC=3:4$$. Отрезки $$AD$$ и $$BF$$ пересекаются в точке $$P$$. Найдите отношение $$AP:PD$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
ВD:DC=3:2, пусть BD=3x, тогда DC=2x, а BC=5x. AF:FC=3:4, пусть AF=3y, тогда FC=4y. По теореме Менелая для треугольника BFC: $$\frac{AP}{PD}*\frac{BD}{BC}*\frac{CF}{AF}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{AP}{PD}*\frac{3x}{5x}*\frac{4y}{3y}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{AP}{PD}=\frac{5}{4}$$
Задание 3954
В треугольнике $$ABC$$ угол $$B$$ равен $$30^{\circ}$$. Через точки $$A$$ и $$B$$ проведена окружность радиуса $$2$$, касающаяся прямой $$AC$$ в точке $$A$$. Через точки $$B$$ и $$C$$ проведена окружность радиуса $$3$$, касающаяся прямой $$AC$$ в точке $$C$$. Найдите длину стороны $$AC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$O_{1}$$ - ценрт оружности $$R_{1}=2$$; $$O_{2}$$ - ценрт оружности $$R_{2}=3$$; $$\angle ABC=\alpha$$; $$\angle BAC=\beta$$;
2) $$\angle BO_{2}C=2\angle BCA=2\alpha$$; $$\angle AO_{1}B=2\angle BAC=2\beta$$;
3) $$AB=2R_{1}\sin\beta=4\sin\beta$$; $$BC=2R_{2}\sin\alpha=6\sin\alpha$$; (по теореме синусов) $$\frac{AB}{\sin\alpha}=\frac{BC}{\sin\beta}$$ (из $$\bigtriangleup ABC$$) $$\Rightarrow$$ $$\frac{4\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{6\sin\alpha}{\sin\beta}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4\sin^{2}\beta=6\sin^{2}\alpha$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$
4) $$\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{AB}{\sin\angle ACB}$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=\frac{AB}{\sin\angle ACB}\cdot\sin\angle ABC=$$ $$\frac{4\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot\sin30^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{6}$$