Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2020. Вариант 34 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 18% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,35 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 8 кг в течение суток?

Ответ: 3
Скрыть Рассчитаем сколько мг активного вещества в одной таблетке: $$20\cdot 0,18=3,6.$$ Ребенку весом 8 кг в сутки необходимо $$8\cdot 1,35=10,8$$ мг активного вещества. Следовательно, ему нужно давать в день $$10,8:3,6=3$$ таблетки.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме показано распределение выплавки цинка в 11 странах мира (в тысячах тонн) за 2009 год. Среди представленных стран первое место по выплавке цинка занимали США, одиннадцатое место - Иран. Какое место занимала Россия?

Ответ: 8
Скрыть Чем выше столбик на диаграмме - тем выше место в рейтинге по добыче. Столбиков выше столбика России 7, следовательно, Россия занимает 8 место.
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Ответ: 49
Скрыть Площадь трапеции можно найти как произведение ее высоты на полусумму оснований: $$S=\frac{a+b}{2}\cdot h.$$ Из рисунка видно, $$h=8-1=7;a=10-1=9;b=7-2=5.$$ Получаем площадь трапеции: $$S=\frac{9+5}{2}\cdot 7=49.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,95. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,6. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 17.

Ответ: 0,35
Скрыть Выделим два события: A - в автобусе меньше 12 пассажиров; B - в автобусе от 12 до 17 пассажиров. Сумма вероятностей этих несовместных событий есть не что иное, как вероятность того, что в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, с известной вероятностью 0,95 (дана по условию задачи), т.е. можно записать равенство: $$0,95=P\left(A\right)+P\left(B\right).$$ Вероятность события A дана в задаче и равна $$0,6$$, следовательно, вероятность события B равна $$P\left(B\right)=0,95-0,6=0,35.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $${{\log }_4 2^{2x+5}\ }=4$$

Ответ: 1,5
Скрыть Преобразуем выражение и вычислим корни уравнения: $$\left(2x+5\right){{\log }_4 2\ }=4\to \frac{1}{2}\left(2x+5\right)=4\to 2x+5=8\to x=1,5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике ABC АВ = ВС, АС = 8, высота СН равна 6. Найдите синус угла АСВ.

Ответ: 0,75
Скрыть Треугольник ABC равнобедренный, следовательно угол ACB равен углу CAB, а угол CAB равен углу CAH. Для вычисления синуса угла CAH рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Синус угла равен отношению противолежащего катета на гипотенузу, получим: $${\sin CAH\ }=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=0,75={\sin ACB\ }.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график функции $$у=f(x)$$, определённой на интервале $$(-8;\ 3)$$. Найдите количество точек, в которых производная функции $$f(x)$$ равна 0.

Ответ: 7
Скрыть Производная - это тангенс угла наклона касательной к оси OX и в точках максимума и минимума функции $$f(x)$$ она равна нулю. Подсчитаем число точек экстремума функции $$f(x)$$ на интервале от -8 до 3, получим 7 точек.
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $$А,\ В,\ С,\ A_1,B_1,C_1\ $$правильной шестиугольной призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 5.

Ответ: 10
Скрыть Вершины ABC в основании правильной шестиугольной призмы образуют треугольник, по площади равный $$\frac{1}{6}$$ от площади основания (см. рисунок ниже). Следовательно, площадь основания многогранника (треугольника ABC) равна $$S=\frac{1}{6}\cdot 12=2,$$ а его объем $$V=S\cdot h=2\cdot 5=10.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $${{\log }_4 40\ }-{{\log }_4 2,5\ }.$$
Ответ: 2
Скрыть Преобразуем и вычислим выражение: $${{\log }_4 \frac{40}{2,5}\ }={{\log }_4 16\ }=2.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 499 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле $$v=c\frac{f-f_0}{f+f_0},$$ где $$c=1500$$ м/с - скорость звука в воде, $$f_0$$ - частота испускаемых импульсов (в МГц), $$f$$ - частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала $$f$$, если скорость погружения батискафа не должна превышать 3 м/с. Ответ выразите в МГц.

Ответ: 501
Скрыть Учитывая, что скорость батискафа не должна превышать 3 м/с, получим следующее неравенство $$c\frac{f-f_0}{f+f_0}\le 3$$. Подставляем в выражение числовые значения, имеем: $$1500\cdot \frac{f-499}{f+499}\le 3\to \frac{f-499}{f+499}\le \frac{1}{500}\to 500f-499\cdot 500\le f+499\to $$ $$\to f-500\le 1\to f\le 501$$. Отсюда получаем, что наибольшее значение частоты равно 501 МГц.
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 58 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
Ответ: 551
Скрыть Изюма без воды в 58 килограммах содержится $$58\left(1-0,05\right)=58\cdot 0,95$$ кг. Требуемый объем винограда обозначим через $$x$$, тогда винограда без воды будет равно $$x\left(1-0,9\right)=0,1x$$ кг. Так как массы фруктов без воды должны быть равны, получаем уравнение $$0,1x=58\cdot 0,95\to x=551$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{x^2+400}{x}$$ на отрезке $$\left[-28;-2\right].$$

Ответ: -40
Скрыть Преобразуем выражение функции $$y=x+\frac{400}{x}$$ и вычислим ее производную $$y^'=1-\frac{400}{x^2}.$$ В точках экстремумов функции производная равна нулю, имеем: $$\frac{400}{x^2}=1\to x_1=20\notin \left[-28;-2\right];\ x_2=-20\in \left[-28;-2\right].$$ Для нахождения наибольшего значения функции вычислим ее в граничных точках диапазона и в точке экстремума, получим: $$y\left(-28\right)=\frac{{28}^2+400}{-28}=-28-\frac{400}{28}$$ данное значение не может быть выражено конечной десятичной дробью, а значит не является ответом в ЕГЭ; $$y\left(-20\right)=\frac{800}{-20}=-40;y\left(-2\right)=\frac{404}{-2}=-202.$$ Наибольшее значение равно -40.
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $${{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{\cos 2x\ }=0,5$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right].$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in Z.$$; б) $$-\frac{5\pi }{4};-\frac{3\pi }{4}.$$
Скрыть

а) Преобразуем уравнение, получим: $${{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }=\frac{1}{2}\to {{\sin }^{{\rm 2}} x\ }=\frac{1}{2}\to \frac{1-{\cos 2x\ }}{2}=\frac{1}{2}\to {\cos 2x\ }=0\to $$ $$\to 2x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z\to x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in Z.$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right].$$ Получим числа: $$-\frac{5\pi }{4};-\frac{3\pi }{4}.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка E, а на ребре AM - точка L. Известно, что $$CD\ =\ BE\ =\ AL\ =\ 2.$$

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

Ответ: $$arctg\frac{\sqrt{39}}{9}.$$
Скрыть

а) Так как пирамида МАВС - правильная пирамида, то высота пирамиды проходит через центр О основания. Точка О - является точкой пересечения медиан и высот равностороннего треугольника $$\triangle АВС.$$ Точка О делит медиану, проведенную из вершины А, в отношении $$2:1.$$ В треугольнике $$\triangle АВС$$ имеем $$АЕ\ :\ ЕВ\ =\ AD\ :\ DC\ =\ 4\ :\ 2\ =\ 2\ :\ 1.$$ Значит, отрезок DE содержит точку О.

б) Построим сечение плоскостью, проходящей через точки E, D и L, соединив их попарно. Искомое сечение DLE - равнобедренный треугольник. Прямая DE перпендикулярна LО и АО, поэтому искомый угол $$\angle \alpha $$ между плоскостями равен углу $$\angle AOL.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ?АОМ. Опустим из точки L перпендикуляр LK на сторону АО, тогда $${\tan \alpha \ }=\frac{LK}{OK}(1)$$.

Из прямоугольного треугольника $$\triangle ABN$$ найдем AN: $$AN^2=AB^2-BN^2=6^2-3^2=27\to AN=3\sqrt{3}.\to \frac{AO}{AN}=\frac{2}{3}\to AO=2\sqrt{3}.$$

Из прямоугольного треугольника $$\triangle AOM$$ найдем MO: $$MO^2=AM^2-AO^2=8^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=52\to MO=2\sqrt{13}$$.

Треугольники $$\triangle ALK$$ и $$\triangle AMO$$ - подобные треугольники, получим: $$\frac{AL}{AM}=\frac{AK}{AO}\to \frac{2}{8}=\frac{AK}{2\sqrt{3}}\to AK=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ $$OK=AO-AK=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$.

Треугольники $$\triangle ALK$$ и $$\triangle AMO$$ - подобные треугольники, получим: $$\frac{AL}{AM}=\frac{LK}{MO}\to \frac{2}{8}=\frac{LK}{2\sqrt{13}}\to LK=\frac{\sqrt{13}}{2}.$$

Подставим полученные данные в формулу (1), получим: $${\tan \alpha \ }=\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{39}}{9}\to \alpha =arctg\frac{\sqrt{39}}{9}.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\frac{567-9^{-x}}{81-3^{-x}}\ge 7.$$

Ответ: $$x\in \left(-\infty ;-4\right)\cup [{{\log }_3 \frac{1}{7}\ };+\infty )$$
Скрыть

1. Сделаем следующую замену: $$3^{-x}=t,t>0$$ и $$9^{-x}={\left(3^{-x}\right)}^2=t^2,$$ получим: $$\frac{567-t^2}{81-t}-7\ge 0\to \frac{567-t^2-567+7t}{81-t}\ge 0\to \frac{-t^2+7t}{81-t}\ge 0\to \frac{t\left(t-7\right)}{t-81}\ge 0.$$

2. Получаем следующие точки, разбивающие числовую прямую: $$\left\{ \begin{array}{c} t\ne 0 \\ t=7 \\ t\ne 81 \end{array} \right.$$

3. Имеем следующие решения неравенства: 

Для $$0<t\le 7:0<3^{-x}\le 7\to x\ge {{\log }_3 \frac{1}{7}\ }.$$
Для $$t>81:3^{-x}>3^4\to x<-4$$
$$x\in \left(-\infty ;-4\right)\cup [{{\log }_3 \frac{1}{7}\ };+\infty )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.

Ответ: 6
Скрыть

а) $$\triangle AMK\sim \triangle ABC$$ по двум углам ($$\angle BAC$$ - общий, $$\angle AMK=\angle ABC,$$ как соответственные при параллельных прямых MN и BC).

Аналогично $$\triangle DLN\sim \triangle DBC.$$ Отсюда $$\frac{MK}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{DN}{DC}=\frac{LN}{BC};MK=LN.$$

б) $$MK:KL=1:3.$$

Пусть $$MK=x=LN,$$ то $$KL=3x,$$ тогда: $$\triangle ABD\sim \triangle MBL$$ (по двум углам): $$\frac{AD}{ML}=\frac{AB}{MB},\frac{AB}{MB}=\frac{8}{4x}=\frac{2}{x}(1)$$

$$\triangle ABC\sim \triangle AMK$$ (по двум углам): $$\frac{MK}{BC}=\frac{AM}{AB},\frac{AM}{AB}=\frac{x}{3}(2)$$

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AB-MB}{AB}=1-\frac{MB}{AB};$$ Из $$\left(1\right)$$ следует $$\frac{MB}{AB}=\frac{x}{2}.$$

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AB-MB}{AB}=1-\frac{MB}{AB}=1-\frac{x}{2}.$$ Значит, $$\frac{AM}{AB}=1-\frac{x}{2}(3)$$

Приравняем правые части $$(2)$$ и $$(3)$$ и найдем значение $$MN=5x:$$ $$\frac{x}{3}=1-\frac{x}{2};2x=6-3x;5x=6;MN=5x=6.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 466,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Ответ: 600000
Скрыть

Пусть $$x$$ тыс. рублей требуется взять в кредит. В начале второго месяца сумма кредита увеличивается на 3%, т.е. становится равной $$1,03x$$. После этого идет погашение части кредита так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину, т.е. во втором месяце погашается $$\frac{x}{24}+0,03x$$ тыс. рублей. Таким образом, сумма долга в конце второго месяца составляет $$1,03x-\frac{x}{24}-0,03x=\frac{23}{24}x.$$

По аналогии в третьем месяце сумма кредита увеличивается на 3\%, т.е. равна $$1,03\cdot \frac{23}{24}x$$ и уменьшается на величину $$\frac{x}{24}+0,03\cdot \frac{23}{24}x.$$ Сумма долга становится равной $$1,03\cdot \frac{23}{24}x-\frac{x}{24}-0,03\cdot \frac{23}{24}=\frac{22}{24}x.$$

Таким образом, через 12 месяцев (1 год) выплаченная сумма долга составит $$\frac{12}{24}x+\frac{0,03x}{24}\left(24+2+\dots +13\right)=\frac{1}{2}x+\frac{0,03x}{24}\cdot \frac{\left(24+13\right)\cdot 12}{2}=$$ $$=x\left(\frac{1}{2}+\frac{0,03\cdot 222}{24}\right)=0,7775x$$ которая по условию задачи равна 466,5 тыс. рублей. Получаем уравнение $$0,7775x=466,5\to x=\frac{466,5}{0,7775}=600.$$

То есть кредит составлял 600 тыс. рублей.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите наименьшее натуральное значение $$a$$, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим корнями уравнения $$\left(x-a+4\right)\left(x^2-ax+4a-17\right)=0$$ не меньше 9.
Ответ:
Скрыть

Имеем: $$x_A=\frac{a-\sqrt{a^2-16a+68}}{2};x_B=\frac{a+\sqrt{a^2-16a+68}}{2};x_C=a-4.$$

При всех значениях параметра $$a$$ дискриминант квадратного уравнения положителен.

Покажем, что при всех значениях $$a$$ выполняется неравенство $$x_B\ge x_C:$$ $$\frac{a+\sqrt{a^2-16a+68}}{2}=\frac{a+\sqrt{{\left(a-8\right)}^2+4}}{2}\ge \frac{a+\sqrt{{\left(a-8\right)}^2}}{2}=$$ $$=\frac{a+\left|a-8\right|}{2}\ge \frac{a+\left(a-8\right)}{2}=(a-4)$$ Покажем, что при всех значениях $$a$$ выполняется неравенство $$x_A\le x_C:$$ $$\frac{a-\sqrt{a^2-16a+68}}{2}=\frac{a+\sqrt{{\left(a-8\right)}^2+4}}{2}\le \frac{a-\sqrt{{\left(a-8\right)}^2}}{2}=$$ $$=\frac{a-\left|a-8\right|}{2}\le \frac{a+\left(a-8\right)}{2}=(a-4)$$ Следовательно, при всех значениях параметра $$a$$ выполняется неравенство $$x_A\le x_C\le x_B.$$

По условию, $$x_B-x_A\ge 9\leftrightarrow \sqrt{a^2-16a+68}\ge 9\leftrightarrow a^2-16a+68\ge 81\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow a^2-16a-13\ge 0.$$

Поскольку $$a$$ - натуральное число, $$a\ge 8+\sqrt{77}.$$ Минимальное натуральное значение $$a$$ равно 17. $$\left[ \begin{array}{c} x-a+4=0 \\ x^2-ax+4a-17=0 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} a=x+4 \\ a=x+4-\frac{1}{x-4} \end{array} \right.$$

В параметрической плоскости $$Oxa$$ получим две кривые и одну наклонную линии. При $$a=17$$ расстояние между $$x_B,\ x_A$$ превысит число 9.

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 3/10 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 5/12 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 8 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Ответ: а) да; б) 8; в) $$\frac{7}{15}.$$
Скрыть

а) Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 5 мальчиков, посетивших только кино, и 8 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 16 учащихся могло быть 8 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 9 или больше. Тогда девочек было 7 или меньше. Театр посетило не более 3 мальчиков, поскольку если бы их было 4 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше $$\frac{4}{4+7}=\frac{4}{11}$$, что больше 3/10. Аналогично кино посетило не более 5 мальчиков, поскольку $$\frac{6}{6+7}=\frac{6}{13}>\frac{5}{12}$$, но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию. В предыдущем пункте было показано, что в группе из 16 учащихся могло быть 8 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе - 8.

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой - только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе $$m_1$$ мальчиков, посетивших театр, $$m_2$$ мальчиков, посетивших кино, и $$d$$ девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

По условию $$\frac{m_1}{m_1+d}\le \frac{3}{10},\frac{m_2}{m_2+d}\le \frac{5}{12},$$ значит, $$\frac{m_1}{d}\le \frac{3}{7},\frac{m_2}{d}\le \frac{3}{7}.$$ Тогда $$\frac{m_1+m_2}{d}\le \frac{8}{7},$$ поэтому доля девочек в группе: $$\frac{d}{m_1+m_2+d}=\frac{1}{\frac{m_1+m_2}{d}+1}\ge \frac{1}{\frac{8}{7}+1}=\frac{7}{15}.$$

Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 5 мальчиков, посетивших только кино, и 7 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна $$\frac{7}{15}.$$