ЕГЭ (база) / Числа и их свойства

1. Число делится на $$18$$, если оно делится на $$9$$ и на $$2$$.

2. Делимость на $$2$$: последняя цифра должна быть чётной. Оставляем цифру $$4$$ (на $$7$$-й позиции), вычёркиваем $$9$$ после неё.

3. Делимость на $$9$$: сумма цифр должна делиться на $$9$$. Сумма всех цифр: $$5+8+9+1+8+7+4+9 = 51$$. Нужно вычеркнуть $$3$$ цифры так, чтобы сумма оставшихся делилась на $$9$$. Вычёркиваем $$5$$, $$1$$ и $$9$$ (сумма $$15$$), тогда сумма оставшихся: $$51 - 15 = 36$$, делится на $$9$$.

4. Остаются цифры $$8$$, $$9$$, $$8$$, $$7$$, $$4$$. Составляем число $$89874$$.

1. Сумма делится на $$10$$, но не на $$20$$. Сумма всех цифр: $$3+6+7+7+8+9 = 40$$.

2. Сумма чисел равна $$99a + 9(b+d) + 40$$. Для делимости на $$10$$: $$a + b + d \equiv 0 \pmod{10}$$.

3. При $$a = 3$$: $$b+d \equiv 7 \pmod{10}$$ или $$b+d = 17$$. Из оставшихся цифр $$\{6, 7, 7, 8, 9\}$$: $$8+9 = 17$$. Берём $$b = 8$$, $$d = 9$$.

4. Остаются цифры $$6, 7, 7$$. Составляем: $$6 + 87 + 397 = 490$$. Проверка: $$490 : 10 = 49$$, $$490 : 20 = 24,5$$ — не делится на $$20$$.

1. Число четырёхзначное, находится в диапазоне от $$1641$$ до $$1929$$. Первая цифра — $$1$$.

2. Все цифры должны быть различны и не равны нулю. Значит, используются цифры из набора $$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$ без повторений.

3. Число должно делиться на каждую свою цифру. Перебираем возможные числа и проверяем условия.

4. Проверяем число $$1692$$: цифры $$1, 6, 9, 2$$ — все различны и не равны нулю ✓. $$1692 : 1 = 1692$$ ✓, $$1692 : 6 = 282$$ ✓, $$1692 : 9 = 188$$ ✓, $$1692 : 2 = 846$$ ✓.

5. Проверка: $$1640 < 1692 < 1930$$ ✓. Все условия выполнены ✓

1. Число кратно $$18$$, значит, оно должно делиться на $$2$$ и на $$9$$. Последняя цифра должна быть чётной, сумма цифр должна делиться на $$9$$.

2. Строим число, где каждая следующая цифра отличается от предыдущей на $$3$$. Попробуем чередовать $$6$$ и $$3$$, заканчивая на $$0$$: $$63630$$.

3. Проверяем: сумма цифр $$6+3+6+3+0 = 18$$, делится на $$9$$ ✓. Последняя цифра $$0$$ — чётная ✓. Соседние цифры: $$|6-3|=3$$, $$|3-6|=3$$, $$|6-3|=3$$, $$|3-0|=3$$ ✓.

4. Проверка: $$63630 : 18 = 3535$$ ✓

1. Пусть остаток при делении на $$6$$ и на $$5$$ равен $$r$$, где $$r \neq 0$$. Так как $$r < 5$$, то $$r \in \{1, 2, 3, 4\}$$.

2. Число $$N$$ при делении на $$6$$ и на $$5$$ даёт одинаковый остаток $$r$$, значит $$N - r$$ делится на НОК$$(6, 5) = 30$$. Следовательно, $$N = 30q + r$$.

3. Так как $$N > 500$$: $$30q + r > 500$$, откуда $$q \geq 17$$. Перебираем варианты и проверяем условие «средняя цифра = среднее арифметическое крайних».

4. При $$q = 18$$, $$r = 3$$: $$N = 30 \cdot 18 + 3 = 543$$. Цифры: $$5, 4, 3$$. Проверяем: $$4 = \frac{5+3}{2} = 4$$ ✓

5. Проверка: $$543 : 6 = 90$$ (остаток $$3$$), $$543 : 5 = 108$$ (остаток $$3$$). Остатки равны и ненулевые ✓

1. Число $$N$$ при делении на $$3$$, $$5$$ и $$7$$ даёт одинаковый остаток $$2$$. Значит, $$N - 2$$ делится на $$3$$, $$5$$ и $$7$$ одновременно, то есть на НОК$$(3, 5, 7) = 105$$.

2. Следовательно, $$N = 105q + 2$$, где $$q$$ — целое число.

3. Так как $$N > 500$$: $$105q + 2 > 500$$, откуда $$q \geq 5$$. Перебираем варианты и проверяем условие «в записи только две различные цифры».

4. При $$q = 5$$: $$N = 527$$. Цифры $$5, 2, 7$$ — три различные, не подходит.

5. При $$q = 6$$: $$N = 632$$. Цифры $$6, 3, 2$$ — три различные, не подходит.

6. При $$q = 7$$: $$N = 737$$. Цифры $$7, 3, 7$$ — две различные ($$7$$ и $$3$$). Подходит ✓

7. Проверка: $$737 : 3 = 245$$ (остаток $$2$$), $$737 : 5 = 147$$ (остаток $$2$$), $$737 : 7 = 105$$ (остаток $$2$$). Все условия выполнены ✓

1. Число $$N$$ при делении на $$4$$ и $$9$$ даёт одинаковый остаток $$1$$. Значит, $$N - 1$$ делится на $$4$$ и $$9$$ одновременно, то есть на НОК$$(4, 9) = 36$$.

2. Следовательно, $$N = 36q + 1$$, где $$q$$ — целое число.

3. Так как $$N$$ трёхзначное: $$100 \leq 36q + 1 \leq 999$$, откуда $$q \geq 3$$ и $$q \leq 27$$. Перебираем варианты и проверяем условие «все цифры нечётные» (цифры из набора $$\{1, 3, 5, 7, 9\}$$).

4. При $$q = 3$$: $$N = 109$$. Цифра $$0$$ чётная — не подходит.

5. При $$q = 11$$: $$N = 397$$. Цифры $$3, 9, 7$$ — все нечётные. Подходит ✓

6. Проверка: $$397 : 4 = 99$$ (остаток $$1$$), $$397 : 9 = 44$$ (остаток $$1$$). Все условия выполнены ✓

1. Число $$N$$ при делении на $$3$$, $$5$$ и $$7$$ даёт одинаковый остаток $$1$$. Значит, $$N - 1$$ делится на $$3$$, $$5$$ и $$7$$ одновременно, то есть на НОК$$(3, 5, 7) = 105$$.

2. Следовательно, $$N = 105q + 1$$, где $$q$$ — целое число.

3. Так как $$N$$ трёхзначное: $$100 \leq 105q + 1 \leq 999$$, откуда $$q \geq 1$$ и $$q \leq 9$$. Перебираем варианты и проверяем условие «цифры расположены в порядке убывания слева направо».

4. При $$q = 1$$: $$N = 106$$. Цифры $$1, 0, 6$$ — не в порядке убывания.

5. При $$q = 2$$: $$N = 211$$. Цифры $$2, 1, 1$$ — не в порядке убывания.

6. При $$q = 3$$: $$N = 316$$. Цифры $$3, 1, 6$$ — не в порядке убывания.

7. При $$q = 4$$: $$N = 421$$. Цифры $$4, 2, 1$$ — в порядке убывания ✓

8. Проверка: $$421 : 3 = 140$$ (остаток $$1$$), $$421 : 5 = 84$$ (остаток $$1$$), $$421 : 7 = 60$$ (остаток $$1$$). Все условия выполнены ✓

1. Число $$A$$ находится в диапазоне от $$351$$ до $$399$$. Нужно, чтобы $$S(A)$$ и $$S(A+4)$$ делились на $$5$$.

2. При переходе через один разряд (последняя цифра $$6, 7, 8, 9$$) разность сумм равна $$9 - 4 = 5$$, что кратно $$5$$. Значит, если $$S(A)$$ делится на $$5$$, то и $$S(A+4)$$ делится на $$5$$.

3. Пусть $$A = \overline{3x6}$$. Сумма цифр $$S(A) = 9 + x$$. Нужно, чтобы $$9 + x$$ делилось на $$5$$. При $$x = 6$$: $$9 + 6 = 15$$. Получаем $$A = 366$$.

4. Проверка: $$A+4 = 370$$, $$S(366) = 15$$, $$S(370) = 10$$. Все условия выполнены ✓

1. Число кратно $$25$$, значит, последние две цифры должны быть $$00$$, $$25$$, $$50$$ или $$75$$. Так как все цифры различны, вариант $$00$$ не подходит.

2. Проверяем числа, оканчивающиеся на $$25$$: первая цифра $$a$$ не равна $$2$$ и $$5$$. Сумма квадратов: $$a^2 + 2^2 + 5^2 = a^2 + 29$$. Нужно, чтобы делилось на $$5$$, но не на $$25$$.

3. При $$a = 1$$: сумма квадратов $$1 + 4 + 25 = 30$$. $$30 : 5 = 6$$ (делится на $$5$$) ✓. $$30 : 25 = 1,2$$ (не делится на $$25$$) ✓.

4. Проверка: $$125 : 25 = 5$$. Цифры $$1, 2, 5$$ различны ✓.

1. Число чётное, значит, последняя цифра должна быть чётной ($$0, 2, 4, 6, 8$$). Условие: сумма цифр = произведение цифр.

2. Используем много единиц. Попробуем цифры $$1, 1, 1, 2, 5$$: сумма $$1+1+1+2+5 = 10$$, произведение $$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 5 = 10$$. Условие выполнено ✓.

3. Последняя цифра $$2$$ — чётная ✓. Составляем число $$11152$$.

4. Проверка: сумма цифр $$10$$, произведение $$10$$. Условие выполнено ✓

1. Условие задачи: сумма цифр = произведение цифр + $$1$$.

2. Число кратно $$4$$, значит, последние две цифры должны образовывать число, кратное $$4$$.

3. Подбираем цифры так, чтобы сумма была на $$1$$ больше произведения. Попробуем цифры $$1, 1, 2, 3$$: сумма $$1+1+2+3 = 7$$, произведение $$1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$$. Условие $$7 = 6 + 1$$ выполнено ✓.

4. Составляем число из цифр $$1, 1, 2, 3$$, кратное $$4$$. Последние две цифры $$12$$ делятся на $$4$$. Проверяем $$1312$$: $$1312 : 4 = 328$$ ✓.

5. Проверка: сумма цифр $$7$$, произведение $$6$$. Условие выполнено ✓

1. Число делится на $$20$$, значит, оно должно делиться на $$4$$ и на $$5$$. Делимость на $$5$$: последняя цифра должна быть $$0$$ или $$5$$. Делимость на $$4$$: последние две цифры должны образовывать число, кратное $$4$$.

2. Число находится в диапазоне от $$4001$$ до $$5999$$, первая цифра — $$4$$ или $$5$$. Цифры строго убывают.

3. Так как цифры строго убывают и последняя цифра $$0$$, возможные последние две цифры: $$20, 40, 60, 80$$. Проверяем число $$5420$$: цифры $$5 > 4 > 2 > 0$$ ✓. Последние две цифры $$20$$ делятся на $$4$$ ✓.

4. Проверка: $$5420 : 20 = 271$$. Условие выполнено ✓

1. Число делится на $$36$$, значит, оно должно делиться на $$4$$ и на $$9$$. Делимость на $$9$$: сумма цифр должна делиться на $$9$$. По условию сумма цифр равна $$27$$, что делится на $$9$$ ✓. Делимость на $$4$$: последние две цифры должны образовывать число, кратное $$4$$.

2. Число находится в диапазоне от $$4501$$ до $$4999$$, первая цифра — $$4$$.

3. Перебираем числа и проверяем условия. Проверяем число $$4788$$: сумма цифр $$4+7+8+8 = 27$$ ✓. Последние две цифры $$88$$ делятся на $$4$$ ✓.

4. Проверка: $$4788 : 36 = 133$$. Условие выполнено ✓

1. Ищем четырёхзначное число $$N$$, такое что $$N = \frac{n^3}{7}$$, где $$n$$ — натуральное число.

2. Чтобы $$n^3$$ делилось на $$7$$, само $$n$$ должно делиться на $$7$$.

3. Перебираем $$n$$, кратные $$7$$: при $$n = 14$$: $$14^3 = 2744$$, $$2744 : 7 = 392$$ — трёхзначное, не подходит.

4. При $$n = 21$$: $$21^3 = 9261$$, $$9261 : 7 = 1323$$ — четырёхзначное ✓.

5. Проверка: $$1323 \cdot 7 = 9261 = 21^3$$ ✓