Задание 8840
Задание 8840
Найдите трёхзначное число $$A$$, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа $$A$$ делится на $$5$$; сумма цифр числа $$A+4$$ делится на $$5$$; число $$A$$ больше $$350$$ и меньше $$400$$. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
1. Число $$A$$ находится в диапазоне от $$351$$ до $$399$$. Нужно, чтобы $$S(A)$$ и $$S(A+4)$$ делились на $$5$$.
2. При переходе через один разряд (последняя цифра $$6, 7, 8, 9$$) разность сумм равна $$9 - 4 = 5$$, что кратно $$5$$. Значит, если $$S(A)$$ делится на $$5$$, то и $$S(A+4)$$ делится на $$5$$.
3. Пусть $$A = \overline{3x6}$$. Сумма цифр $$S(A) = 9 + x$$. Нужно, чтобы $$9 + x$$ делилось на $$5$$. При $$x = 6$$: $$9 + 6 = 15$$. Получаем $$A = 366$$.
4. Проверка: $$A+4 = 370$$, $$S(366) = 15$$, $$S(370) = 10$$. Все условия выполнены ✓
Задание 8837
Найдите трёхзначное число $$A$$, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа $$A$$ делится на $$6$$; сумма цифр числа $$A+3$$ делится на $$6$$; число $$A$$ больше $$350$$ и меньше $$400$$. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
1. Число $$A$$ находится в диапазоне от $$351$$ до $$399$$, первая цифра — $$3$$.
2. Если при прибавлении $$3$$ не происходит перехода через разряд, то сумма цифр увеличивается на $$3$$. Тогда если $$S(A)$$ делится на $$6$$, то $$S(A+3)$$ не может делиться на $$6$$. Значит, при прибавлении $$3$$ должен происходить перенос в следующий разряд.
3. Рассмотрим случай, когда последняя цифра $$7$$: $$A = \overline{3x7}$$, тогда $$A+3 = \overline{3(x+1)0}$$. Сумма цифр $$S(A) = 10 + x$$, $$S(A+3) = 4 + x$$. Разность сумм равна $$6$$, значит, если одна сумма делится на $$6$$, то и другая делится на $$6$$.
4. Нужно, чтобы $$10 + x$$ делилось на $$6$$. При $$x = 8$$: $$10 + 8 = 18$$, делится на $$6$$. Получаем $$A = 387$$. Проверка: $$A+3 = 390$$, $$S(387) = 18$$, $$S(390) = 12$$. Все условия выполнены ✓
Задание 8838
Найдите трёхзначное число $$A$$, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа $$A$$ делится на $$5$$; сумма цифр числа $$A+3$$ делится на $$5$$; число $$A$$ больше $$700$$ и меньше $$900$$. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
1. Число $$A$$ находится в диапазоне от $$701$$ до $$899$$. Нужно, чтобы $$S(A)$$ и $$S(A+3)$$ делились на $$5$$.
2. Если переноса нет, разность сумм равна $$3$$, что невозможно для кратности $$5$$. Значит, нужен перенос через разряд.
3. Если перенос идёт через два разряда (например, $$A$$ оканчивается на $$99$$), то $$A = \overline{799}$$, $$A+3 = 802$$. Сумма цифр $$S(799) = 25$$ (делится на $$5$$), $$S(802) = 10$$ (делится на $$5$$).
4. Проверка: $$700 < 799 < 900$$. Все условия выполнены ✓
Задание 8839
Найдите трёхзначное число $$A$$, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа $$A$$ делится на $$4$$; сумма цифр числа $$A+2$$ делится на $$4$$; число $$A$$ больше $$200$$ и меньше $$400$$. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
1. Число $$A$$ находится в диапазоне от $$201$$ до $$399$$. Нужно, чтобы $$S(A)$$ и $$S(A+2)$$ делились на $$4$$.
2. Разность сумм должна быть кратна $$4$$. При переходе через два разряда (оканчивается на $$99$$) разность сумм равна $$18 - 2 = 16$$, что кратно $$4$$.
3. Пусть $$A = 299$$, тогда $$A+2 = 301$$. Сумма цифр $$S(299) = 20$$ (делится на $$4$$), $$S(301) = 4$$ (делится на $$4$$).
4. Проверка: $$200 < 299 < 400$$. Все условия выполнены ✓
Задание 8841
Найдите трёхзначное число $$A$$, обладающее двумя свойствами: сумма цифр числа $$A$$ делится на $$7$$; сумма цифр числа $$A+4$$ делится на $$7$$. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число $$A$$.
1. Нужно, чтобы $$S(A)$$ и $$S(A+4)$$ делились на $$7$$. Разность сумм должна быть кратна $$7$$.
2. При переходе через два разряда (оканчивается на $$96, 97, 98, 99$$) разность сумм равна $$18 - 4 = 14$$, что кратно $$7$$.
3. Пусть $$A = \overline{x96}$$, тогда $$A+4 = \overline{(x+1)00}$$. Сумма цифр $$S(A) = x + 15$$. Нужно, чтобы $$x + 15$$ делилось на $$7$$. При $$x = 6$$: $$6 + 15 = 21$$. Получаем $$A = 696$$.
4. Проверка: $$A+4 = 700$$, $$S(696) = 21$$, $$S(700) = 7$$. Все условия выполнены ✓
Задание 8842
Найдите трёхзначное число $$A$$, обладающее двумя свойствами: сумма цифр числа $$A$$ делится на $$11$$; сумма цифр числа $$A+7$$ делится на $$11$$. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число $$A$$.
1. Нужно, чтобы $$S(A)$$ и $$S(A+7)$$ делились на $$11$$. Разность сумм должна быть кратна $$11$$.
2. При переходе через два разряда (оканчивается на $$93, 94, \dots, 99$$) разность сумм равна $$18 - 7 = 11$$, что кратно $$11$$.
3. Пусть $$A = \overline{x95}$$, тогда $$A+7 = \overline{(x+1)02}$$. Сумма цифр $$S(A) = x + 14$$. Нужно, чтобы $$x + 14$$ делилось на $$11$$. При $$x = 8$$: $$8 + 14 = 22$$. Получаем $$A = 895$$.
4. Проверка: $$A+7 = 902$$, $$S(895) = 22$$, $$S(902) = 11$$. Все условия выполнены ✓