Арифметические и геометрические прогрессии
Задание 4970
Дана геометрическая прогрессия $$(b_n)$$, знаменатель которой равен $$2$$, а $$b_1 = -\frac{3}{4}$$. Найдите сумму первых шести её членов.
Сумма n-ых первых членов геометрической прогрессии можно найти по формуле: $$S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$$, тогда $$S_{6}=\frac{-\frac{3}{4}(2^{6}-1)}{2-1}=-47,25$$
Задание 3183
Дана геометрическая прогрессия: $$12$$; $$48$$; $$192$$; … Какое число стоит в этой последовательности на $$6$$-м месте?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Найдем знаменатель геометрической прогрессии : $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{48}{12}=4$$. Найдем 6 член геометрической прогрессии : $$b_{n}=b_{1}*q^{n-1}\Rightarrow$$$$b_{6}=12*4^{5}=12288$$
Задание 3463
Даны двадцать чисел, первое из которых равно $$10$$, а каждое следующее больше предыдущего на $$4$$. Найдите пятнадцатое из данных чисел.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
В данном случае дана арифметическая прогрессия, первый член которой $$a_{1}=10$$, разность $$d=4$$. Необходимо найти $$a_{15}$$. $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$, следовательно, $$a_{15}=10+4(15-1)=66$$
Задание 1903
Два приятеля положили в банк по $$10\ 000$$ рублей каждый, причём первый положил деньги на вклад с ежеквартальным начислением $$10\%$$, а второй — с ежегодным начислением $$45\%$$. Через год приятели получили деньги вместе с причитающимися им процентами. На сколько рублей больше получил первый приятель по сравнению со вторым?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 801
За изготовление и установку нижнего железобетонного кольца колодца заплатили $$234\ 000$$ руб., а за каждое следующее кольцо платили на $$18\ 000$$ руб. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы была выплачена премия $$360\ 000$$ руб. Средняя стоимость изготовления и установки одного кольца с учетом премии оказалась равна $$202\ 000$$ руб. Сколько колец было установлено?
Пусть за изготовление и установку всех колец заплатили Sn. Тогда
$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}n=\frac{2\cdot234-(n-1)\cdot18}{2}n=(243-9n)n.$$
Средняя стоимость установки одного кольца с учетом премии равна 202 рубля, а значит, $$\frac{360+S_n}{n}=202.$$ Получаем:
$$360+(243-9n)n=202n\Leftrightarrow 360+243n-9n^2=202n\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow 9n^2-41n-360=0\Leftrightarrow n=9$$
Следовательно, было установлено 9 колец.
Задание 1559
Известно, что на высоте $$2205$$ м над уровнем моря атмосферное давление составляет $$550$$ мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые $$10,5$$ м давление уменьшается примерно на $$1$$ мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте $$1890$$ м над уровнем моря.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1364
Ире надо подписать $$880$$ открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Ира подписала $$10$$ открыток. Определите, сколько открыток было подписано за восьмой день, если вся работа была выполнена за $$16$$ дней.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1650
К концу $$2007$$ года в городе проживало $$42\ 900$$ человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце $$2018$$ года в городе проживало $$51\ 810$$ человек. Какова была численность населения этого города к концу $$2015$$ года?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 8966
К концу $$2017$$ года в городе проживало $$120 500$$ человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2025 года в городе проживало $$124 900$$ человек. Какова была численность населения этого города к концу $$2020$$ года?
1. Найдём общий прирост населения за период с $$2017$$ по $$2025$$ год: $$124\,900 - 120\,500 = 4\,400$$ человек.
2. Количество лет в этом периоде: $$2025 - 2017 = 8$$ лет.
3. Найдём ежегодный прирост: $$\frac{4\,400}{8} = 550$$ человек в год.
4. Найдём количество лет от $$2017$$ до $$2020$$ года: $$2020 - 2017 = 3$$ года.
5. Вычислим прирост за $$3$$ года: $$3 \cdot 550 = 1\,650$$ человек.
6. Найдём население к концу $$2020$$ года: $$120\,500 + 1\,650 = 122\,150$$ человек.
Задание 8944
К концу 2010 года в городе проживало 67 800 человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2025 года в городе проживало 74 100 человек. Какова была численность населения этого города к концу 2018 года?
1. Найдём общий прирост населения за период с $$2010$$ по $$2025$$ год: $$74\,100 - 67\,800 = 6\,300$$ человек.
2. Количество лет в этом периоде: $$2025 - 2010 = 15$$ лет.
3. Найдём ежегодный прирост: $$\frac{6\,300}{15} = 420$$ человек в год.
4. Найдём количество лет от $$2010$$ до $$2018$$ года: $$2018 - 2010 = 8$$ лет.
5. Вычислим прирост за $$8$$ лет: $$8 \cdot 420 = 3\,360$$ человек.
6. Найдём население к концу $$2018$$ года: $$67\,800 + 3\,360 = 71\,160$$ человек.
Задание 1524
Каждое простейшее одноклеточное животное — инфузория-туфелька — размножается делением на $$2$$ части. Сколько инфузорий было первоначально, если после пятикратного деления их стало $$480$$?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1009
Каждый день больной заражает четырёх человек, каждый из которых, начиная со следующего дня, также ежедневно заражает новых четырёх и так далее. Болезнь длится $$14$$ дней. В первый день месяца в город $$N$$ приехал заболевший гражданин К, и в этот же день он заразил четырёх человек. В какой день станет $$3125$$ заболевших? (В ответе укажите только число.)
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4958
Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?
1) последовательность натуральных степеней числа $$2$$;
2) последовательность натуральных чисел, кратных $$5$$;
3) последовательность кубов натуральных чисел;
4) последовательность всех правильных дробей, числитель которых на $$1$$ меньше знаменателя.
Задание 4961
Какое из указанных чисел не является членом последовательности $$a_n = \frac{(-1)^n}{n}$$?
1) $$\frac{1}{2}$$
2) $$-\frac{1}{3}$$
3) $$\frac{1}{16}$$
4) $$\frac{1}{17}$$
Найдем второй, третий, шестнадцатый и семнадцатый члена последовательности: $$a_{2}=\frac{(-1)^{2}}{2}=\frac{1}{2}$$ $$a_{3}=\frac{(-1)^{3}}{3}=-\frac{1}{3}$$ $$a_{16}=\frac{(-1)^{16}}{16}=\frac{1}{16}$$ $$a_{17}=\frac{(-1)^{17}}{17}=-\frac{1}{17}\neq \frac{1}{17}$$, следовательно, четвертый вариант ответа не является членом последовательности.