(C1) Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

ОДЗ: $$x^{4}-81\neq0$$ $$\Rightarrow$$ $$x^{4}\neq81$$ $$\Rightarrow$$ $$x\neq\pm3$$

Решение: $$\frac{(x^{2}-4)(x-2-7-x+x^{2})}{(x^{2}-9)(x^{2}+9)}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-2)(x+2)(x^{2}-9)}{(x^{2}-9)(^{2}+9)}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-2)(x+2)}{x^{2}+9}\geq0$$ $$\Rightarrow$$ $$(x-2)(x+2)\geq0$$ $$\Rightarrow$$ $$x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$$

С учетом ОДЗ: $$x\in(-\infty;-3)\cup(-3;-2]\cup[2;3)\cup(3;+\infty)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Область определения: $$x^{2}-|x|-2\neq 0\Leftrightarrow$$$$|x|\neq 2, |x|\neq -1\Leftrightarrow$$$$x\neq \pm 2$$

     Раскроем модуль:

1)   При $$x\geq 0 \Rightarrow$$ $$\frac{(x+2)(x+1)}{x^{2}-x-2} \leq -3x\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+2)(x-1)}{(x-2)(x+1)}\leq -3x\Leftrightarrow$$ $$\frac{x+2}{x-2}+3x\leq 0$$

     Рассматриваем числитель дроби, чтобы разбить его на множители: $$3x^{2}-5x+2=0$$

$$D=25-24=1$$

$$x_{1}=\frac{5+1}{6}=1$$

$$x_{2}=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3}$$

     Следовательно,$$\frac{(x-\frac{2}{3})(x+1)}{x-2}\leq 0$$

2)   При $$x<0 \Rightarrow$$$$\frac{(x+2)(x+1)}{x^{2}+x-2}\leq -3x\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+2)(x+1)}{(x+2)(x-1)}+3x\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x+1}{x-1}+3x\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x+1+3x^{2}-3x}{x-1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{3x^{2}-2x+1}{x-1}\leq 0$$

     Рассмотрим числитель полученной дроби:

$$3x^{2}-2x+1=0$$

$$D=4-12<0$$

     Следовательно, числитель данной дроби всегда положителен и не влияет на знак неравенства: $$\frac{1}{x-1}\leq 0$$

     С учетом обрасти опредеделения:

$$x \in (-\infty ;-2)\cup(-2;\frac{2}{3})\cup [1; 2)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x^{2}-x+1}\leq \frac{1-2x}{x^{3}+1}$$

     ОДЗ: $$x^{3}+1\neq 0\Rightarrow x\neq -1$$

     Решение: $$\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x^{2}-x+1}-\frac{1-2x}{(x+1)(x^{2}-x+1)}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x^{2}-x+1-2x-2-1+2x}{x^{3}+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}-x-2}{x^{3}+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-2)(x+1)}{x^{3}+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x-2}{x^{2}-x+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x-2\leq 0\Rightarrow$$ $$x\leq 2$$

     С учетом ОДЗ: $$x \in (-\infty ; -1)\cup (-1; 2]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{x^{2}+7x+10}{\left|x+2\right|}\leq 0$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+7x+10\leq 0\\x+2\neq 0\end{matrix}\right.$$ $$x^{2}+7x+10=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-7\\x_{1}\cdot x_{2}=10\end{matrix}\right.$$ $$x_{1}=-2$$ $$x_{2}=-5$$ $$x\in [-5; -2)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(\frac{2x+1}{5-x})^{2}\leq \frac{1}{25}$$$$\Leftrightarrow$$ $$(\frac{2x+1}{5-x})^{2}-(\frac{1}{5})^{2}\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$(\frac{2x+1}{5-x}-\frac{1}{5})(\frac{2x+1}{5-x}+\frac{1}{5})\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{10x+5-5+x}{5(5-x)}*\frac{10x+5+5-x}{5(5-x)}\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{11x*(9x+10)}{25(5-x)^{2}}\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x(9x+10)\leq 0\\5-x\neq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$x \in [-\frac{10}{9};0]$$

1) Перенесём всё в левую часть: $$x^2 - 12x + 36 - \sqrt{10}(x - 6) < 0.$$

Учтем, что $$x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$$. Тогда $$(x - 6)^2 - \sqrt{10}(x - 6) < 0.$$ Вынесём общий множитель: $$(x - 6)\bigl((x - 6) - \sqrt{10}\bigr) < 0,$$ $$(x - 6)(x - 6 - \sqrt{10}) < 0$$

2) Найдём нули выражения: $$x_1 = 6; x_2 = 6 + \sqrt{10}.$$ Отметим их на координатной прямой. Расставим знаки, которые принимает выражение $$(x - 6)(x - 6 - \sqrt{10})$$ на полученных интервалах:

Выражение отрицательно при: $$x \in (6;\, 6 + \sqrt{10}).$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$x\geq \frac{5x-14}{25}+\frac{3x-5}{20}-9\frac{4}{5}|*100\Leftrightarrow$$ $$100x\geq 20x-56+15x-25-975\Leftrightarrow$$$$100x-35x\geq -1056\Leftrightarrow$$$$65x\geq -1056\Leftrightarrow$$$$x\geq -\frac{1056}{65}\Leftrightarrow$$

$$x^{2}(-x^{2}-64)\leq 64(-x^{2}-64)\Leftrightarrow$$$$x^{2}(-x^{2}-64)-64(-x^{2}-64)\leq0\Leftrightarrow$$$$(-x^{2}-64)(x^{2}-64)\leq0$$

Число $$-x^{2}-64<0$$ при всех Х. Делим на него, меняем знак неравенства (т.к. делим на отрицательное): $$x^{2}-64\geq0$$

Найдем все х, при которых выражение  $$x^{2}-64=0$$

$$x^{2}=64\Leftrightarrow$$$$x=\pm 8$$. Отметим полученные значения на координатной прямой и расставим знаки значений, которые принимает выражение $$x^{2}-64$$ на полученных отрезках:

Точки закращенные, так как неравенство строгое. Выберем отрезки, где выражение больше или равно 0: $$(-\infty; -8]; [8; +\infty)$$

$$\frac{8x-1}{15}-\frac{7x-2}{10}>\frac{1}{3}\Rightarrow 16x-2-21x+6>10\Rightarrow -5x>6\Rightarrow x<-\frac{6}{5}$$

$$(2x+1)^2\leq x(4x+3)\Rightarrow 4x^2+4x+1\leq4x^2+3x\Rightarrow x\leq-1$$

Получим: $$\left\{\begin{matrix} x<-\frac{6}{5}\\ x\leq-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\in(-\infty;-\frac{6}{5})$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{ \begin{array}{c} \left(6x+2\right)-6\left(x+2\right)>2x \\ \left(x-7\right)\left(x+6\right)0 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 6x+2-6x-12-2x>0 \\ x>-7 \\ x6 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} -10-2x>0 \\ x7 \\ x>-6 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5 \\ x7 \\ x>6 \end{array} \right.\leftrightarrow x\in (-6;-5).$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{ \begin{array}{c} \frac{10-2x}{3+{\left(5-2x\right)}^2}\ge 0 \\ 2-7x\le 14-3x \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 10-2x\ge 0 \\ -7x+3x\le 14-2 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x\le 5 \\ -4x\le 12 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x\le 5 \\ x\ge -3 \end{array} \right.\leftrightarrow x\in [-3;-5]$$

Решите систему неравенств:

$$ \left\{ \begin{aligned} &\frac{10 - 2x}{3 + (5 - 2x)^2} \geq 0 \\ &2 - 7x \leq 14 - 3x \end{aligned} \right. $$

Решим первое неравенство:

$$ \frac{10 - 2x}{3 + (5 - 2x)^2} \geq 0 $$

Знаменатель всегда положителен, так как:

$$ 3 + (5 - 2x)^2 > 0 \quad \text{при любом } x $$

Значит, знак выражения зависит только от числителя:

$$ 10 - 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5 $$

Решим второе неравенство:

$$ 2 - 7x \leq 14 - 3x $$ $$ 2 - 7x - 14 + 3x \leq 0 \Rightarrow -4x - 12 \leq 0 \Rightarrow -4x \leq 12 \Rightarrow x \geq -3 $$

Ответ:

$$ x \in [-3 \ ; \ 5] $$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Из первого уравнения получаем: $$(x-4)(y-7)=0 \Rightarrow x=4$$ или $$y=7.$$

1) Пусть $$x=4.$$ Подставим во второе уравнение: $$\dfrac{y-5}{4+y-9}=2 \;\Rightarrow\; \dfrac{y-5}{y-5}=2.$$ Если $$y\neq5,$$ то левая часть равна $$1,$$ получаем противоречие $$1=2.$$ Если $$y=5,$$ то знаменатель равен нулю, дробь не имеет смысла. Следовательно, при $$x=4$$ решений нет.

2) Пусть $$y=7.$$ Подставим во второе уравнение: $$\dfrac{7-5}{x+7-9}=2 \;\Rightarrow\; \dfrac{2}{x-2}=2.$$ Отсюда $$\dfrac{2}{x-2}=2 \;\Rightarrow\; \dfrac{1}{x-2}=1 \;\Rightarrow\; x-2=1 \;\Rightarrow\; x=3.$$ Проверим знаменатель: $$x+y-9=3+7-9=1\neq 0.$$ Значит, пара $$(3;7)$$ является решением системы.

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x+5}{y-3}=0\\ 2y^2+x^2-y=40 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x+5=0\\ y-3\neq0\\ 2y^2+x^2-y=40 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x=-5\\ 2y^2+25-y=40\\ y\neq3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x=-5\\ 2y^2-y-15=0\\ y\neq3 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x=-5\\ y=-2,5 \end{matrix}\right.$$

$$2y^2-y-15=0$$

$$D=1+120=121$$

$$y_1=\frac{1+11}{4}=3$$ - не подходит

$$y_2=\frac{1-11}{4}=-2,5$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Приравниваем правые части: $$4x^2 - 3x = 8x - 6.$$ Переносим всё в одну сторону: $$4x^2 - 11x + 6 = 0.$$ Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант: $$D = (-11)^2 - 4\cdot 4\cdot 6 = 121 - 96 = 25.$$ Корни: $$x_{1,2} = \dfrac{11 \pm \sqrt{25}}{2\cdot 4} = \dfrac{11 \pm 5}{8}.$$ Тогда $$x_1 = \dfrac{11 + 5}{8} = 2,\qquad x_2 = \dfrac{11 - 5}{8} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}.$$

2) Найдём соответствующие значения $$y$$ из второго уравнения.

Для $$x = 2$$: $$y = 8\cdot 2 - 6 = 10.$$ Для $$x = \dfrac{3}{4}$$: $$y = 8\cdot \dfrac{3}{4} - 6 = 6 - 6 = 0.$$ Решения системы: $$(2;10),\ \left(\dfrac{3}{4};0\right).$$