Задание 1302
Прямоугольный треугольник с катетами $$5$$ см и $$12$$ см вписан в окружность. Чему равен радиус (в см) этой окружности?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 799
Радиус $$OB$$ окружности с центром в точке $$O$$ пересекает хорду $$MN$$ этой окружности в её середине — точке $$K$$. Найдите длину хорды $$MN$$, если $$KB = 1$$, а радиус окружности равен $$13$$.
Построим радиусы ОН и ОМ.
Так как радиус ОВ перпендикулярен хорде МН, то треугольники ОКМ и ОКН прямоугольные.
В треугольниках ОКМ и ОКН катет ОК общий, а гипотенузы $$ОМ = ОН = R = 13$$ см.
Тогда прямоугольные треугольники ОКМ и ОКН равны по катету и гипотенузе, а значит $$КМ = КН.$$
Радиус $$ОВ = 13 = ВК + ОК = 1 + ОК.$$
$$ОК = 13 – 1 = 12$$ см.
По теореме Пифагора, из прямоугольного треугольника ОКН определим длину катета КН.
$$КН^2=ОН^2-ОК^2=169-144=25.$$
$$КН=5$$ см.
Тогда хорда $$МН=5+5=10$$ см.
Задание 834
Радиус окружности с центром в точке $$O$$ равен $$50$$, длина хорды $$AB$$ равна $$96$$. Найдите расстояние от хорды $$AB$$ до параллельной ей касательной $$k$$. В ответе запишите произведение найденных значений.
$$OA=50;OM\perp AB;OB=50\Rightarrow AM=MB=48\Rightarrow OM=\sqrt{50^2-48^2}=14$$
$$\Rightarrow MN=50-14=36$$
$$LM=50+14=64$$
$$LM\cdot MN=2304$$
Можно по свойству хорд: $$LM\cdot MN=AM\cdot MB=48\cdot48=2304$$
Задание 4911
Радиус окружности с центром в точке $$O$$ равен $$85$$, длина хорды $$AB$$ равна $$80$$. Найдите расстояние от хорды $$AB$$ до параллельной ей касательной $$k$$.
Пусть EH - общий перпендикуляр к AB и k, тогда EH - искомое расстояние. Из треугольника AOH (прямоугольный) по теореме Пифагора: $$OH=\sqrt{OA^{2}-AH^{2}}$$, AH=0,5AB=40, тогда: $$OH=\sqrt{85^{2}-40^{2}}=75$$. EH=EO+OH=85+75=160.
Задание 2210
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен $$12$$. Найдите высоту этой трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2045
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $$6\sqrt{2}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине стороны квадрата, описанной около квадрата - половине диагонали. Пусть а - сторона квадрата, тогда диагонали квадрата $$a\sqrt{2}$$, следовательно: $$\frac{a\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$$. Тогда $$a=12$$, и радиус вписанной окружности $$\frac{12}{2}=6$$
Задание 1557
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $$12$$. Найдите высоту этого треугольника.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 338
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $$6\sqrt{3}$$. Найдите длину стороны этого треугольника.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2170
Сторона $$AC$$ треугольника $$ABC$$ проходит через центр описанной около него окружности. Найдите $$\angle C$$, если $$\angle A = 44^\circ$$. Ответ дайте в градусах.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4910
Сторона $$AC$$ треугольника $$ABC$$ проходит через центр описанной около него окружности. Найдите $$\angle C$$, если $$\angle A = 81^\circ$$. Ответ дайте в градусах.
Так ка сторона проходит через центр окружности, то треугольник является прямоугольным, следовательно: $$\angle C=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-81^{\circ}=9^{\circ}$$
Задание 974
Точка $$O$$ — центр окружности, на которой лежат точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Известно, что $$\angle ABC = 103^\circ$$ и $$\angle OAB = 24^\circ$$. Найдите угол $$BCO$$. Ответ дайте в градусах.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3845
Точка $$O$$ — центр окружности, на которой лежат точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Известно, что $$\angle ABC = 75^\circ$$ и $$\angle OAB = 18^\circ$$. Найдите угол $$BCO$$. Ответ дайте в градусах.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Угол ABC вписанный, угол AOC - центральный, они опираются на одну дугу, значит угол AOC в два раза больше, то есть 150 градусов. Тогда внутренний угол $$AOC=360-150=210$$. Тогда по свойству углов четырехугольника $$\angle BCO = 360-210-75-18 =57^{\circ}$$