ЕГЭ (профиль) / Простейшие уравнения

Представим $$49$$ как $$7^2$$:

$$7^{1+2x} = (7^2)^{2x}$$

Применим свойство степени $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$:

$$7^{1+2x} = 7^{4x}$$

Приравняем показатели степеней:

$$1 + 2x = 4x$$

Вычтем из обеих частей $$2x$$:

$$1 = 2x$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$x = 0,5$$

Представим обе части как степени с основанием $$3$$:

$$(3^2)^{x-6} = 3^4$$

$$3^{2(x-6)} = 3^4$$

Приравняем показатели степеней:

$$2(x - 6) = 4$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$x - 6 = 2$$

Прибавим к обеим частям $$6$$:

$$x = 8$$

ОДЗ: $$54 - 3x \ge 0$$ и $$x \ge 0$$, откуда $$0 \le x \le 18$$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$54 - 3x = x^2$$

Перенесём все члены в правую часть:

$$x^2 + 3x - 54 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = 9 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$$

$$x = \frac{-3 \pm 15}{2}$$

$$x_1 = 6$$, $$x_2 = -9$$

Проверим корни по ОДЗ:

$$x_1 = 6$$ — входит в ОДЗ

$$x_2 = -9$$ — не входит в ОДЗ

$$x² + 3\cdot x - 18 + 4\cdot\sqrt{x² + 3\cdot x - 6} = 0$$

Сделаем замену $$a$$ на $$x² + 3\cdot x,$$ тогда получим:

$$a - 18 + 4\cdot\sqrt{a-6} = 0$$

$$4\cdot (a - 6) = (18 - a)²$$

$$a² - 52\cdot a + 420 = 0$$

$$a=42$$ и $$a=10$$

$$x² + 3\cdot x - 42 = 0,$$ $$D = 177,$$ $$x = \frac{-3\pm\sqrt{177}}{2}$$

$$x² + 3\cdot x - 10 = 0,$$ откуда $$x = -5$$ и $$x = 2$$

Верны только последние два корня.

$$-5+2=-3$$