Арифметические и геометрические прогрессии
Задание 1240
Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает $$7$$ метров, а в каждую следующую секунду — на $$10$$ метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 816
Клиент взял в банке кредит $$100$$ тыс. рублей на $$n$$ целых месяцев с условием, что по окончании первого месяца выплатит банку $$\frac{1}{n}$$ часть кредита, а в каждый последующий месяц выплата будет на $$5$$ тыс. рублей больше, чем в предыдущий. Известно, что в последний месяц выплата составила $$55$$ тыс. руб. На сколько месяцев срок был выдан кредит, если известно, что этот срок превышал полгода?
Ежемесячные выплаты составляют арифметическую прогрессию с первым членом $$\frac{100}{n}$$ и разностью 5. Тогда за последний месяц клиент выплатил банку $$\frac{100}{n}+5(n-1)$$ руб., что составляет 55 руб. Решим уравнение:
$$\frac{100}{n}+5(n-1)=55\Leftrightarrow 100+5n(n-1)=55n\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow 5n^2-60n+100=0\Leftrightarrow n^2-12n+20=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} n=10\\ n=2 \end{matrix}\right.$$
Поскольку срок кредитования превышал полгода, кредит был возвращен банку за 10 месяцев.
Задание 1579
Курс воздушных ванн начинают с $$10$$ минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на $$10$$ минут. В какой по счёту день продолжительность процедуры достигнет $$1$$ часа $$20$$ минут?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 856
Мама договорилась с Димой, что в понедельник он будет учить испанские слова. За первое выученное слово она даст сыну $$5$$ конфет, а за каждое следующее слово — на $$2$$ конфеты больше, чем за предыдущее. Сколько конфет Дима получит от мамы в понедельник, если он выучит $$12$$ слов?
Растущее количество конфет составляет арифметическую прогрессию $$5+7+9+...$$ с первым членом a1 = 5, разностью d = 2. Сумму первых 12 членов прогрессии $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n:$$
$$S_{12}=\frac{2\cdot5+2(12-1)}{2}\cdot12=192$$ конфеты.
Задание 572
На клетчатой бумаге с размером клетки $$1 \times 1$$ нарисована «змейка», представляющая собой ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину $$10$$. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину $$170$$.
Задание 2775
Найдите сумму $$5$$ первых членов геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если $$b_3 = 9$$, $$b_5 = 1$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2623
Найдите сумму всех натуральных чётных двузначных чисел, делящихся на $$3$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4946
Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии: $$-8,6$$; $$-8,4$$; …
Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=-8,4-(-8,6)=0,2$$. То есть n-ый член прогрессии можно задать формулой: $$a_{n}=-8,6+0,2(n-1)$$.
Найдем номер первого неотрицательного члена: $$-8,6+0,2(n-1)<0\Leftrightarrow$$$$-8,8+0,2n<0\Leftrightarrow$$$$0,2n<8,8|:0,2\Leftrightarrow$$$$n<44$$.
В силу строгости неравенства, получаем, что первые 43 член прогрессии являются отрицательными. Найдем сумму первых 43ёх членов прогрессии: $$S_{43}=\frac{2*(-8,6)+0,2(43-1)}{2}*43=-189,2$$
Задание 2868
Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой $$a_n = 0,3n + 5$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Найдем первый член прогрессии: $$a_{1}=0,3*1+5=5,3$$ Найдем десятый член прогрессии: $$a_{10}=0,3*10+5=8$$ Найдем сумму первых десяти членов: $$S_{10}=\frac{5,3+8}{2}*10=66,5$$
Задание 4959
Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность:
1) $$10$$; $$6$$; $$2$$; $$-2$$; $$...$$
2) $$5$$; $$\frac{5}{2}$$; $$\frac{5}{4}$$; $$\frac{5}{8}$$; $$...$$
3) $$1$$; $$2$$; $$3$$; $$5$$; ...
4) $$\frac{1}{2}$$; $$\frac{1}{3}$$; $$\frac{1}{4}$$; $$\frac{1}{5}$$; $$...$$
Чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо выполнение условия для всех членов последовательности: $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$$
Задание 4960
Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите её.
1) $$1$$; $$2$$; $$3$$; $$5$$; …
2) $$1$$; $$2$$; $$4$$; $$8$$; …
3) $$1$$; $$3$$; $$5$$; $$7$$; …
4) $$1$$; $$\frac{1}{2}$$; $$\frac{2}{3}$$; $$\frac{3}{4}$$; …
Для того, чтобы числовая последовательность была арифметической прогрессией, необходимо выполнение условия $$d=a_{n+1}-a_{n}$$ для всех членов последовательности: 1) 1; 2; 3; 5; ... $$d_{1}=2-1=1 ; d_{2}=3-2=1 ; d_{3}=5-3=2$$, как видим $$d_{3}\neq d_{2}$$, следовательно, это не арифметическая прогрессия 2) 1; 2; 4; 8; ... $$d_{1}=2-1=1 ; d_{2}=4-2=2$$, как видим $$d_{2}\neq d_{1}$$, следовательно, это не арифметическая прогрессия 3) 1; 3; 5; 7; ... $$d_{1}=3-1=2 ; d_{2}=5-3=2 ; d_{3}=7-5=2$$, как видим $$d_{3}=d_{2}=d_{1}$$, следовательно, это арифметическая прогрессия 4) 1; $$\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}$$; ... $$d_{1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6} ; d_{2}=\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12} $$, как видим $$d_{2}\neq d_{1}$$, следовательно, это не арифметическая прогрессия
Задание 3804
Последовательность $$(a_n)$$ задана условиями: $$a_1 = -3$$, $$a_{n+1} = a_n - 3$$. Найдите $$a_{21}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-3-a_{n}=-3$$. Найдем 21 член прогрессии: $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$ Тогда $$a_{21}=-3-3*(21-1)=-63$$
Задание 4956
Последовательность задана условиями: $$b_1 = 4$$, $$b_{n+1} = -\frac{1}{b_n}$$. Найдите $$b_7$$.