(C4) Геометрическая задача на вычисление
Задание 2807
Известно, что угол при вершине $$B_{1}$$ правильного многоугольника $$B_{1}B_{2}B_{3}...B_{n}$$ равен $$150^{\circ}$$, а радиус описанной около этого многоугольника окружности равен $$8\sqrt{3}$$. Найдите высоту $$B_{4}H$$ треугольника $$B_{2}B_{4}B_{8}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1104
Каждое основание $$AD$$ и $$BC$$ трапеции $$ABCD$$ продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов $$A$$ и $$B$$ этой трапеции пересекаются в точке $$P$$, биссектрисы внешних углов $$C$$ и $$D$$ пересекаются в точке $$R$$. Найдите периметр трапеции $$ABCD$$, если длина отрезка $$PR$$ равна $$24$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3050
Медиана $$AM$$ треугольника $$ABC$$ равна половине стороны $$BC$$. Угол между $$AM$$ и высотой $$AH$$ равен $$40^{\circ}$$. Найдите углы треугольника $$ABC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) т.к. медиана равна половине стороны, то $$\Delta ABC$$ – прямоугольный, при этом $$\angle A=90$$ и $$AM=CM=MB$$
2) из $$\Delta AMH$$: $$\angle AMH=90-\angle MAH=50$$
3) из $$\Delta AMC$$: $$\angle CAM +\angle ACM =\angle AMH$$ (как внешний угол при третьей вершине ),при этом $$\angle CAM=\angle ACM\Rightarrow$$ $$\angle ACM =\frac{50}{2}=25$$
4) $$\angle B=90-\angle C=90-25=65$$
Задание 2220
Медианы треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Найдите длину медианы, проведённой к стороне $$BC$$ , если $$\angle BAC=47^{\circ}$$ , $$\angle BMC=133^{\circ}$$, $$BC=4\sqrt{3}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3933
Меньшее основание прямоугольной трапеции равно $$12,5$$ см, а большая диагональ является биссектрисой угла при большем основании и равна $$20$$ см. Найдите площадь трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$\angle BDC=\angle ADB$$ (BD - биссект.); $$\angle CDB=\angle BDA$$ (накрестлежащие); $$\Rightarrow$$ $$\angle CBD=\angle BCD$$ $$\Rightarrow$$ $$BC=CD=12,5$$
2) $$CH$$ - высота, тогда $$AH=HD=12,5$$. Пусть $$AB=CH=x$$, $$HD=y$$,тогда: из $$\bigtriangleup CHD$$ и $$\bigtriangleup ABD$$: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=(12,5)^{2}\\x^{2}+(12,5+y)^{2}=20^{2}\end{matrix}\right.$$
$$20^{2}-(12,5+y)^{2}+y^{2}=12,5^{2}$$; $$400-12,5^{2}-25y-y^{2}+y^{2}-12,5^{2}=0$$; $$400-312,5=25y$$; $$y=3,5$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\sqrt{400-256}=12$$
3) $$S=\frac{12,5+12,5+3,5}{2}\cdot12=171$$
Задание 3838
На сторонах $$BC$$ и $$BA$$ треугольника $$ABC$$ взяты точки $$E$$ и $$F$$ такие, что $$BE:EC=1:3$$, $$BF:FA=1:2$$. Площадь треугольника $$BEF$$ равна $$10$$. Найти площадь треугольника ABC.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
$$\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}}=\frac{AB*BC}{BF*BE}(1)$$. Так как ВE:EС=1:3, то BC=4BE, так как ВF:FА=1:2, то AB=3BF. Подставим данные выражения в формулу (1): $$\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}}=\frac{3BF*4BE}{BF*BE}=12$$, тогда $$S_{ABC}=12S_{BFE}=12*10=120$$
Задание 3689
На сторонах угла $$BAC$$ и на его биссектрисе отложены равные отрезки $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$. Величина угла $$BDC$$ равна $$160^{\circ}$$. Определите величину угла $$BAC$$.
1) $$AB=AD=AC$$ (по условию); $$\angle BAD=\angle DAC$$ ($$AD$$ - биссектриса), тогда $$\bigtriangleup BAD=\bigtriangleup ADC$$
2) $$\angle BDA=\angle ADC=\frac{\angle BDC}{2}=80^{\circ}$$
3) $$\angle ABD=\angle BDA$$ ($$AB=AD$$) $$\Rightarrow$$ $$\angle BAD=180^{\circ}-2\cdot80^{\circ}=20^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BAC=20^{\circ}\cdot2=40^{\circ}$$
Задание 3690
Найдите величину угла $$AOE$$, если $$OE$$ — биссектриса угла $$AOC$$, $$OD$$ — биссектриса угла $$COB$$.
1) т.к. $$OD$$ - биссектриса, то $$\angle COD=\angle DOB=25^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle COB=50^{\circ}$$
2) $$\angle AOC=180^{\circ}-\angle COB=130^{\circ}$$ (смежный)
3) $$\angle AOE=\frac{\angle AOC}{2}=65^{\circ}$$ ($$OE$$ - биссектриса)
Задание 4335
Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $$20$$, а радиус вписанной окружности равен $$4$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта
Задание 1191
Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в $$30^{\circ}$$ и $$90^{\circ}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
На продолжении AD за точку D отложим DE=AD, тогда ABEC - параллелограмм (по признаку) $$\Rightarrow BE||AC;$$
$$BE=AC$$ и $$\angle EAC=\angle BEA=90^{\circ}$$ (как накрест лежащие), $$\angle BAE=30^{\circ}\Rightarrow$$
$$\Rightarrow BE=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AC=\frac{1}{2}AB\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$$
Задание 1052
Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями $$8$$ и $$5$$, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть ABCD — данный четырёхугольник, O — середина стороны AB, K — середина стороны BC, P — середина стороны CD, H — середина стороны DA. Проведём диагонали AC и BD и отрезки OK, KP, PH и HO, последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки OK и PH параллельны диагонали AC и равны её половине, а отрезки KP и HO параллельны диагонали BD и равны её половине. Поэтому OKPH — параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали KH и OP равны, то OKPH — прямоугольник, и угол OKP— прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями AC и BD тоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника ABCD будет равна половине произведения его диагоналей, то есть $$\frac{1}{2}\cdot8\cdot5=20$$.