Задание 5. Тренировочный вариант ЕГЭ № 263 Ларина
Задание 7051
Найдите корень уравнения $$\log_{0,5} (x+5)=\log_{2} (x+5)$$
$$\log_{0,5}(x+5)=\log_{2}(x+5)\Leftrightarrow$$ $$\log_{2^{-1}}(x+5)=\log_{2}(x+5)\Leftrightarrow$$ $$(-1)\log_{2}(x+5)=\log_{2}(x+5)\Leftrightarrow$$ $$2\log_{2}(x+5)=0\Leftrightarrow$$ $$x+5=1\Leftrightarrow$$ $$x=-4$$
Аналоги задания:
Задание 6459
Решите уравнение $$\log_{7} (3-x)=\log_{6} (3-x)$$
Равенство двух логарифмов, у которых разные основания, но одинаковые логарифмируемые вырадения, будет только в том случае, когда логарифмируемое выражение равно 1: $$3-x=1\Leftrightarrow x=2$$
Задание 6174
Решите уравнение $$\ln \frac{12}{x-4}=\ln (x+7)$$ . Если корней несколько, в ответе укажите их сумму.
$$\ln\frac{12}{x-4}=\ln(x+7)$$ $$\frac{12}{x-4}=x+7\Leftrightarrow$$ $$x^{2}+3x-28=12\Leftrightarrow$$ $$x^{2}+3x -40=0$$ $$D=0+160=169$$ $$x_{1}=\frac{-3+13}{2}=5$$ $$x_{2}=\frac{-3-13}{2}=-8$$ не подходит ,т.к. $$\frac{12}{x-4}>0$$ (область определения для данного логарифма)
Задание 4387
Решите уравнение $$\log_{3}(x^{2}-12)=\log_{3}(-x)$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
$$\log_{3}(x^{2}-12)=\log_{3}(-x)$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-12>0\\-x>0\end{matrix}\right.$$; $$x^{2}-12=-x$$; $$x^{2}+x-12=0$$; $$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-1\\x_{1}\cdot x_{2}=-12\end{matrix}\right.$$; $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=-4\\x_{2}=3\end{matrix}\right.$$; $$x=3$$ - не подходит
Задание 779
Найдите корень уравнения: $$\log_4 (x+3) = \log_4 (4x-15)$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+3> 0\\ 4x-15> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x> -3\\ x> 3,75\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$x> 3,75$$ $$\log_4 (x+3) = \log_4 (4x-15)\Leftrightarrow$$$$ x+3=4x-15\Leftrightarrow$$$$ 3+15=4x-x\Leftrightarrow $$$$x=6$$
Задание 778
Найдите корень уравнения: $$\log_2 (15+x) = \log_2 3$$
ОДЗ:$$15+x >0 \Leftrightarrow x >-15$$ $$\log_2 (15+x) = \log_2 3\Leftrightarrow$$$$ 15+x=3\Leftrightarrow$$$$ x=-12$$