(C5) Геометрическая задача на доказательство
Задание 3217
Пусть $$E$$ – середина стороны $$AB$$ трапеции $$ABCD$$ ($$BC\parallel AD$$). Докажите, что площадь треугольника $$ECD$$ равна половине площади трапеции $$ABCD$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
- Пусть $$EH\perp AD; EH=h$$
- $$\Delta EMD=\Delta EHA$$(по гипотенузе и острому углу )$$\Rightarrow$$ $$EM=h\Rightarrow$$ $$MH=2h$$
- Пусть $$BC=x; AD=y$$: $$S_{ABCD}=\frac{x+y}{2}*2h=xh+yh$$, $$S_{EBC}=\frac{1}{2}hx$$, $$S_{EAD}=\frac{1}{2}hy\Rightarrow$$ $$S_{CED}=h(x+y)-\frac{1}{2}h(x+y)=$$$$\frac{1}{2}h(x+y)=\frac{S_{ABCD}}{2}$$
Задание 2880
Пусть $$H$$ – точка пересечения высот треугольника $$ABC$$. Докажите, что точка $$H_{1}$$, симметричная точке $$H$$ относительно любой стороны треугольника $$ABC$$, лежит на окружности, описанной около этого треугольника.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3449
Середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
- $$AB=CD, BC=AD$$ так как дан параллелограмм. Следовательно, $$AM=MB=DL=LC$$, и $$AK=KD=BN=NC$$.
- $$\angle A+\angle D=180$$. Но $$MK=NK$$, следовательно, треугольники AMK и KLD равны по трем сторонам и $$\angle A=\angle D$$. Так как они в сумме дают 180, то какждый из них по 90, тогда ABCD - прямоугольник.
Задание 1120
Сторона $$AD$$ параллелограмма $$ABCD$$ вдвое больше стороны $$AB$$. Точка $$G$$ — середина стороны $$AD$$. Докажите, что $$BG$$ — биссектриса угла $$ABC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2038
Точка $$E$$ — середина боковой стороны $$AB$$ трапеции $$ABCD$$. Докажите, что площадь треугольника $$ECD$$ равна половине площади трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Рассмотрим треугольники ECB и DEA. Пусть BC=b, AB=a, h - высота трапеции, проведенная через Е. Тогда точка Е делит высоту на два равных отрезка $$\frac{h}{2}$$. Следовательно:
Тогда $$S_{ECD}=\frac{a+b}{2}h-\frac{1}{2}h(\frac{a}{2}+\frac{b}{2})=$$$$\frac{a+b}{4}h=\frac{S_{ABCD}}{2}$$
Задание 3404
Точка $$M$$ лежит на окружности радиуса $$R$$, описанной около прямоугольника $$ABCD$$. Докажите, что $$MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}=8R^{2}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
- $$\angle CMA=90$$, AC-диаметр окружности . Тогда из $$\Delta ACM$$
- $$AC^{2}=MC^{2}+MA^{2}\Leftrightarrow (2R)^{2}=MC^{2}+MA^{2}(1)$$
- Аналогично , из $$\Delta BMD: (2R)^{2}=MB^{2}+MD^{2}(2)$$
- Сложим (1)и(2): $$MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}=8R^{2}$$
Задание 8954
Точка $$N$$ — середина стороны $$AB$$ параллелограмма $$ABCD$$, а $$NC=ND$$. Докажите, что параллелограмм $$ABCD$$ является прямоугольником.
1. Рассмотрим треугольники $$NAD$$ и $$NBC$$.
2. $$AN = NB$$, так как $$N$$ — середина $$AB$$.
3. $$AD = BC$$, так как это противоположные стороны параллелограмма.
4. $$ND = NC$$ по условию.
5. Следовательно, $$\triangle NAD = \triangle NBC$$ по трём сторонам.
6. Из равенства треугольников следует, что $$\angle A = \angle B$$.
7. Так как $$AD \parallel BC$$, сумма односторонних углов $$\angle A + \angle B = 180^\circ$$. Значит, $$\angle A = \angle B = 90^\circ$$.
8. Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Что и требовалось доказать.
Задание 8976
Точка $$N$$ — середина стороны $$BC$$ ромба $$ABCD$$, а $$AN=DN$$. Докажите, что ромб $$ABCD$$ является квадратом.
1. Рассмотрим треугольники $$ABN$$ и $$DCN$$.
2. $$AB = DC$$, так как это стороны ромба.
3. $$BN = NC$$, так как $$N$$ — середина стороны $$BC$$.
4. $$AN = DN$$ по условию.
5. Следовательно, $$\triangle ABN = \triangle DCN$$ по трём сторонам.
6. Из равенства треугольников следует, что $$\angle B = \angle C$$.
7. Так как $$AB \parallel DC$$, сумма односторонних углов $$\angle B + \angle C = 180^\circ$$. Значит, $$\angle B = \angle C = 90^\circ$$.
8. Ромб, у которого все углы прямые, является квадратом. Что и требовалось доказать.
Задание 39
Через точку $$O$$ пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$ проведена прямая, пересекающая стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$P$$ и $$Q$$ соответственно. Докажите, что отрезки $$BP$$ и $$DQ$$ равны.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2681
Четыре точки окружности следуют в порядке $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$. Продолжения хорды $$AB$$ за точку $$B$$ и хорды $$CD$$ за точку $$C$$ пересекаются в точке $$E$$, причем угол $$AED$$ равен $$60^{\circ}$$. Угол $$ABD$$ в три раза больше угла $$BAC$$. Докажите, что $$AD$$ – диаметр окружности.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
