Задание 5. Тренировочный вариант ЕГЭ № 233 Ларина.
Задание 5095
Решите уравнение $$\cos\frac{\pi x}{6}=-0,5$$. В ответе запишите наибольший отрицательный корень уравнения.
$$\cos \frac{\pi x}{6}=-0,5\Leftrightarrow$$ $$\frac{\pi x}{6}=\pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n, n \in Z\Leftrightarrow$$ $$x=\pm 4+12n, n \in Z$$
Найдем наибольший отрицательный :
$$\left\{\begin{matrix}4+12n<0\\-4+12n<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}12n<-4\\12<4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}n<-\frac{1}{3}\\n<\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left{\begin{matrix}n=-1\\n=0 & &\end{matrix}\right.$$
$$x_{1}=4+12(-1)=-8$$, $$x_{2}=-4+12*0=-4$$
Наибольший отрицательный: -4.
Аналоги задания:
Задание 7505
Решите уравнение $$\cos \frac{\pi x}{6}=-0.5$$. В ответе запишите наибольший отрицательный корень уравнения.
$$\cos \frac{\pi x}{6}=-0,5\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\frac{\pi x}{6}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n|:\frac{\pi}{6}\\\frac{\pi x}{6}=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,n \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=4+12n\\x=-4+12n\end{matrix}\right.$$
Найдем максимальный отрицательный корень в обоих случаях:
$$\left[\begin{matrix}4+12n<0\\-4+12n<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}n<-\frac{1}{3},n \in Z\\n<\frac{1}{3}, n\in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}n=-1\\n=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=4+12(-1)=-8\\x=-4+12*0=-4\end{matrix}\right.$$
Тогда наибольший отрицательный корень составит -4
Задание 4854
Решите уравнение: $$\cos \frac{\pi x}{7}=-1$$. В ответе запишите наибольший отрицательный корень уравнения.
$$\cos \frac{\pi x}{7}=-1 \Leftrightarrow $$$$\frac{\pi x}{7}=\pi +2*\pi*n ,n \in Z \Leftrightarrow $$$$ x=7+14n ,n \in Z$$ С учетом того, что n принадлежит целым числам, и нужен наибольший отрицательный, мы можем решить неравенство: $$7+14n< 0\Leftrightarrow $$$$n< -\frac{1}{2}$$. Получаем, что $$n=-1$$, тогда $$x=7+14*(-1)=-7$$