(C3) Функции и их свойства. Графики функций
Задание 84
Постройте график функции $$y = x^2 + 4|x| - 5$$. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
1) Раскроем модуль по определениям:
При $$x \ge 0$$: $$y = x^2 + 4x - 5.$$ (на рисунке синим пунктиром) При $$x < 0$$: $$y = x^2 - 4x - 5.$$ (на рисунке красным пунктиром)
Это две параболы, открытые вверх. Первая имеет вершину при $$x = -2,$$ вторая — при $$x = 2,$$ обе вершины ниже точки пересечения при $$x = 0.$$ С учетом раскрытия модуля, на графике функции остаётся только правая ветвь первой параболы ($$y = x^2 + 4x - 5.$$ для $$x \ge 0$$) и левая ветвь второй параболы ($$y = x^2 - 4x - 5.$$ для $$x < 0$$).
2) Любая прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение $$y = k.$$ Она может пересечь левую ветвь графика не более чем в одной точке и правую ветвь — тоже не более чем в одной точке.
Значит, максимальное возможное число точек пересечения — две.
Задание 8974
Постройте график функции $$y=\begin{cases}-x^2+8x-16 & \text{при } x > 2,\\-0,5x-1 & \text{при } x\leq2.\end{cases}$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.
1. Первая часть функции: $$y = -x^2+8x-16 = -(x-4)^2$$ при $$x > 2$$. Это ветвь параболы с вершиной в точке $$(4; 0)$$.
2. Находим координаты вершины: $$x_0 = -\frac{8}{-2} = 4$$, $$y_0 = -(4-4)^2 = 0$$. На границе $$x = 2$$: $$y = -(2-4)^2 = -4$$. Точка $$(2; -4)$$ — выколотая.
3. Вторая часть функции: $$y = -0,5x-1$$ при $$x \le 2$$. Таблица значений: при $$x = 2$$, $$y = -2$$ (закрашенная); при $$x = -2$$, $$y = 0$$.
4. Анализируем пересечения прямой $$y = m$$ с графиком:
— При $$m = 0$$: прямая касается вершины параболы $$(4; 0)$$ и пересекает луч прямой в точке $$(-2; 0)$$. Итого $$2$$ точки.
— При $$-4 < m < -2$$: прямая пересекает параболу в двух точках (так как $$-4 < m < 0$$), а луч прямой не пересекает (так как $$m < -2$$). Итого $$2$$ точки.
— При других значениях $$m$$ количество точек не равно $$2$$.
Задание 8952
Постройте график функции $$y=\begin{cases}x^2-10x+25 & \text{при } x>4,\\1{,}5x-3 & \text{при } x\leq4.\end{cases}$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.
1. Первая часть функции: $$y = x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$$ при $$x > 4$$. Это правая ветвь параболы.
2. Находим координаты вершины параболы: $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2} = 5$$, $$y_0 = (5-5)^2 = 0$$. Вершина в точке $$(5; 0)$$.
3. На границе $$x = 4$$: $$y = (4-5)^2 = 1$$. Точка $$(4; 1)$$ — выколотая (так как $$x > 4$$).
4. Вторая часть функции: $$y = 1,5x - 3$$ при $$x \le 4$$. Составляем таблицу значений для построения луча:
| $$x$$ | 2 | 4 |
|---|---|---|
| $$y$$ | 0 | 3 |
5. Луч начинается в точке $$(4; 3)$$ (закрашенная, так как $$x \le 4$$) и идёт через точку $$(2; 0)$$ вниз влево.
6. Анализируем пересечения прямой $$y = m$$ с графиком:
— При $$m = 0$$: прямая касается вершины параболы $$(5; 0)$$ и пересекает луч прямой в точке $$(2; 0)$$. Итого 2 точки.
— При $$0 < m < 1$$: прямая пересекает параболу в двух точках (обе при $$x > 4$$) и луч прямой в одной точке. Итого 3 точки.
— При $$m = 1$$: парабола даёт точку $$x = 6$$ (точка $$x = 4$$ выколота), луч прямой — одну точку. Итого 2 точки.
— При $$1 < m \le 3$$: парабола даёт одну точку ($$x = 5 + \sqrt{m}$$), луч прямой — одну точку. Итого 2 точки.
— При $$m > 3$$: только одна точка пересечения с параболой.
7. Ровно две общие точки при $$m = 0$$ и $$1 \le m \le 3$$.
Задание 2765
При каких значениях $$a$$ число корней уравнения $$\left|x^2 - 2x - 7\right| = a$$ в четыре раза больше $$a$$?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3336
При каких значениях $$p$$ вершины парабол $$y = x^2 - 6px + p$$ и $$y = -x^2 + 2px + 3$$ расположены по одну сторону от оси $$x$$?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Вершина $$y=x^{2}-6px+p$$: $$x_{01}=-\frac{6p}{2}=3p$$, $$y_{01}=9p^{2}-18p^{2}+p=p-9p^{2}$$
Вершина $$y=-x^{2}+2px+3$$: $$x_{02}=-\frac{2p}{-2}=p$$, $$y_{02}=-p^{2}+2p^{2}+3=p^{2}+3$$
По одну сторону от OX:
$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y_{01}>0\\y_{02}>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y_{01}<0\\y_{02}<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}>0 \\p^{2}+3>0 \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}<0 \\p^{2}+3<0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}>0 \\p \in R \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}<0 \\p \in \varnothing \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$p(1-9p)>0\Leftrightarrow$$ $$p\in (0 ;\frac{1}{9})$$
Задание 640
Прямая $$y = 2x + b$$ касается окружности $$x^2 + y^2 = 5$$ в точке с отрицательной абсциссой. Определите координаты точки касания.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
