Перейти к основному содержанию

Вопрос 8. Немного про ОДЗ и оформление второй части ЕГЭ

Пусть дано неравенство: $$\log _{x+1} (x^{2} -1)>0.$$ В сборниках под редакцией Ященко (ФИПИ школе) в подобных ситуациях пишут: «решение неравенства определено» при: $$\left\{\begin{array}{c} {x^{2} -1>0} \\ {x+1>0;^{} x+1\ne 0} \end{array}\right. .$$ Можно ли опираться на такое оформление на экзамене (и на оформление из данного сборника? Если вместо «решение неравенства определено» написать «ОДЗ», то будет ли это считаться ошибкой? Какое оформление вы бы рекомендовали для неравенств из 15 задания ЕГЭ?

Я неравенство, приведенное вами, решал бы так:

$$\left\{\begin{array}{c} {(x+1)(x-1)>0} \\ {x+1>1} \\ {x\ne -2} \\ {\log _{x+1} (x^{2} -1)-\log _{x+1} 1>0} \end{array}\right.(1)$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{array}{c} {x>1} \\ {x>-1} \\ {x\ne -2} \\ {(x+1-1)(x^{2} -1-1)>0} \end{array}\right.(2)$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{array}{c} {x>1} \\ {x(x-\sqrt{2} )\cdot (x+\sqrt{2} )>0} \end{array}\right.(3)$$

$$\left\{\begin{array}{c} {x>1} \\ {x-\sqrt{2} >0} \end{array}\right.(4)$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{array}{c} {x>1} \\ {x>\sqrt{2} } \end{array}\right.(5)$$$$\Leftrightarrow$$$$x>\sqrt{2}(6)$$ Ответ: $$\left(\sqrt{2} ;+\infty \right).$$

Пояснения:.

1. Здесь я пользовался так называемым методом прямого прослеживания. То есть сначала заменил исходное неравенство равносильной (эквивалентной) системой, а затем каждый раз предыдущую систему заменял системой новой равносильной системой. «Процесс» этот продолжал до тех пор, пока не получил простейшее неравенство $$x>\sqrt{2}$$, решение которого мне известно.

Такой путь идеален. Однако на практике он почти невозможен из-за своей громоздкости в записях. В данном случае нам просто повезло: громоздкость особо незаметна.

Я не могу сказать, что это - единственный путь, который следует считать приемлемым и универсальным. Тем более не имею права навязывать этот путь другим. И вам, дорогие гимназисты или лицеисты. Если бы сказал противное, то, наверняка, «связал» бы ваши руки такой веревкой, который убьет в вас всякое творческое начало.

Именно из таких соображений скажу: нет никаких образцов «оформления» тех или иных решений математических задач. Скажу даже более сурово: быть не может. Каждый автор (решатель) выбирает свой путь, свой стиль. Только он должен быть полным, непротиворечивым, математически грамотным, обоснованным.

2. Поясню свои соображения, которыми руководствовался.

Система (1) включает в себя неравенство, приводящее исходное неравенство к прямому использованию метода рационализации (замены множителя). Я ведь надеюсь, что названный метод вам уже знаком. В систему также включены все ограничения на х}, при которых применим метод рационализации.

Первое неравенство системы (1) решается уже с учетом решения второго неравенства. При замене системы (2) равносильной системой (3) второе и третье неравенства (2) опускаются, поскольку поглощаются неравенством $$x>1,$$ более сильным, чем поглощенные. (Соблюдаем «чистоту»).

Кроме того, в системе (3) при $$x>1$$ становится возможным деление обеих частей второго неравенства системы (3) на выражение $$x(x+\sqrt{2} )$$, что больше нуля.

В системе (5) первое неравенство поглощается вторым и получаем окончательное неравенство, решения которого нам известны, и которое равносильно исходному неравенству.

Встает естественный вопрос: а почему нет ни единого словесного пояснения?

Такое решение называют «молчаливым». И к нему никаких претензий быть не может, поскольку все преобразования, использованные в ходе решения, являются стандартными. Они понятны без слов и каждому проверяющему.

Забегая вперед скажу: я приведу ссылку на статью Георгия Владимировича Дорофеева, профессора, доктора физико-математических наук, известного методиста, чьи труды стали для нас классическими. Я говорю о статье «Оценка решений стандартных задач в старшей школе», опубликованной в журнале «Математика в школе» за 1999 год, №№ 2, 3 и 4. В этой статье 46 комментариев по оценке различных эпизодов решений экзаменационных задач, которые сохранили актуальность и сейчас.

3. А сейчас поговорим о том, как надо понимать выражение «решение неравенства определено».

Но прежде о лексическом значении слова «решение».

Вот что пишет А.Г.Мордкович в книге Алгебра и начала математического анализа. $$10-11$$ классы. В 2 ч. Ч. 1. Учеб. для общеобразоват. шк. (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М. : Мнемозина, 2010. С. 360:

«... решением неравенства} $$f(x)>g(x)$$ называют всякое значение переменной $$x,$$ которое обращает заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство. Иногда используют термин частное решение}. Множество всех частных решений неравенства называют общим решением}, но чаще употребляют термин решение}. Таким образом, термин решение} используют в трех смыслах: как общее решение, как частное решение и как процесс, но обычно по смыслу бывает ясно, о чем идет речь.» А в вопросе, который поставили вы, имеется в виду общее решение} заданного неравенства, что выступает в качестве ответа.

4. Теперь то же самое неравенство, которое привели ученики школы города N, рассмотрю чуть по-другому.

Итак, нам предложено решить неравенство $$\log _{x+1} (x^{2} -1)>0.$$

Найдем ограничения на х.

$$\left\{\begin{array}{c} {(x+1)(x-1)>0} \\ {x+1>0} \\ {x\ne -2} \end{array}\right. ; \left\{\begin{array}{c} {x-1>0} \\ {x+1>0} \\ {x\ne -2} \end{array}\right. ; \left\{\begin{array}{c} {x>1} \\ {x>-1} \\ {x\ne -2} \end{array}\right. ; x>1.$$

Далее заданное неравенство будем рассматривать исключительно на множестве $$M=\left(1;+\infty \right).$$

$$\log _{x+1} (x^{2} -1)>\log _{x+1} 1$$; $$\log _{x+1} (x^{2} -1)-\log _{x+1} 1>0;$$ $$(x+1-1)\cdot (x^{2} -1-1)>0$$; $$x\cdot (x^{2} -2)>0;$$ $$x\cdot (x+\sqrt{2} )(x-\sqrt{2} )>0.$$ Для любого $$x\in M$$ $$x>0,^{} x+\sqrt{2} >0.$$

Значит, обе части последнего неравенства мы вправе разделить на $$x(x+\sqrt{2} ).$$ Получим: $$x-\sqrt{2} >0;$$ $$x>\sqrt{2} .$$

О т в е т: $$\left(\sqrt{2} ;+\infty \right).$$

Если мы говорим «решение неравенства определено на М}», то мы в конкретном случае подразумеваем: множество $$\left(\sqrt{2} ;+\infty \right)$$, являющееся решением неравенства $$\log _{x+1} (x^{2} -1)>0$$, определено (говоря иначе, существует) в области определения заданного неравенства, то есть на множестве $$M(1;+\infty )$$. А это множество М} и есть, говоря иначе, так называемая область допустимых значений (ОДЗ) того же неравенства. Область, бытующая в настоящее время в школьной практике.

Почему в школьной практике, а не в школьном курсе математики? Да потому, что это понятие практически отсутствует в школьных учебниках всех поколений. При подготовке ответа на вопрос учащихся города N я с большим трудом разыскал «следы» этого понятия в учебнике А.Г.Мордковича, указанного выше. Подчеркиваю: всего лишь следы. (С. 350, строки 4 и 5 сверху).

А определение области определения уравнения (неравенства) вы найдете в любом учебнике алгебры и начал математического анализа для старших классов. И этот термин вполне созвучен с фундаментальным понятием - понятием область определения функции.

5. Понятие ОДЗ (уравнения, неравенства) пришло в наши школы в 70-е годы прошлого столетия. И откуда же? Попытаемся разобраться.

До 1966-го года в 8-10 классах курс алгебры изучался по известному учебнику А.П. Киселева. В 9-10 классах параллельно с алгеброй и геометрией (стереометрия тоже преподавалась по книге А.П.Киселева) - также присутствовал отдельный курс тригонометрии (с объемом во времени 2 часа в неделю в в 9-м и столько же часов10 классе десятилетней средней школы). Были в действии учебник «Тригонометрия» С. И Новосёлова и задачник П.В.Стратилатова.

Но к сожалению, ни в одном из этих учебников не была развита функциональная линия. Потому уравнение в курсе алгебры трактовалось как равенство, содержащее неизвестную величину, обозначенную некоторой буквой.

Аналогично трактовались и неравенства.

В 1966-м году в целях усиления функциональной линии в школьном курсе алгебры она (алгебра) и тригонометрия были объединены в единый курс алгебры и элементарных функций. Вошли в школьную жизнь учебники «Алгебра и элементарные функции» ч.1 и ч.2 Евгения Семеновича Кочеткова и Екатерины Семеновна Кочетковой. Именно в этих учебниках появился новый термин «допустимое значение неизвестной величины», которого раньше в школьных учебниках не было. Однако и в этих учебниках уравнения и неравенства не трактовались как равенства (неравенства) функций. Следовательно неизвестные оставались просто неизвестными, роль переменных (аргументов) они не приобрели.

Никаких понятий области допустимых значений (ОДЗ) в учебниках Кочетковых не было.

По этим учебникам старшеклассники занимались вплоть до 1975-го года, до самого начала коренной модернизации школьного математического образования под руководством Академика А.Н.Колмогорова и введения его учебника алгебры и начал анализа в школьную программу.

А термины «ОДЗ уравнения», «ОДЗ неравенства» уже процветали в школьной практике, которые пришли в практику учителей от специалистов, занимающихся школьной математикой являясь авторами пособий для поступающих в вузы.

Обратимся к первым номерам широко известного физико-математического журнала «Квант», который начал выходить с января 1970-го года. И уже в 3-м номере за 1970 год, на с. 50, можно найти такие строки статьи известного ученого методиста Г.В.Дорофеева под названием «Вступительные экзамены по математике...":

«... другие знают, что это может произойти, но не знают, почему, и, как правило, уверены, что посторонними будут те корни, которые не входят в ОДЗ (область допустимых значений)... »

Я не могу взять на себя ответственность утверждать, что именно Г.В.Дорофеев придумал этот термин «ОДЗ уравнения (неравенства)». Скорее всего, он уже был вынужден пользоваться прочно вошедшим в число терминов, используемых учителями. Я так полагаю, потому как:

- самое парадоксальное, наверное, заключается в том, что отношениям «равно», «больше», «не больше», «меньше», «не меньше», играющим ключевые роли в уравнениях и неравенствах, приписываются свойства иметь числовое значение (???) . Задумайтесь только, говорится: «область допустимых значений уравнения», «область допустимых значений неравенства»! Трудно представить, что до такого додумался Георгий Владимирович, редкий знаток математической словесности;

- чем хуже такие отношения, как «параллельность», «перпендикулярность», которым свойство иметь числовое значение? И это в 20-м веке!

Что закрепилось, уже закрепилось. Куда же денешься?.. Против сильного течения не поплывешь! Занесет ведь неизвестно куда.

Авторский коллектив: Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов в книге «Пособие по математике для поступающих в вузы. Избранные вопросы элементарной математики» очень подробно описали, как следует использовать понятие ОДЗ (или же отказаться от него в некоторых случаях) при решении уравнений и неравенств. Я здесь укажу, какие страницы Пособия надо бы проработать нашим читателям, чтобы в будущем самостоятельно принимать решение, использовать или же не использовать понятие ОДЗ при решении уравнений и неравенств, в том числе и при решении заданий типа 15 ЕГЭ.

Нельзя не упомянуть о том, что известный методист Владимир Григорьевич Болтянский в 1975 году выступил в научно-методическом журнале «Математика в школе» статьей «Преодолеть заблуждения, связанные с ОДЗ», где он решительно осудил введение в практику понятия ОДЗ, подчеркивая, что можно обходиться фундаментальным понятием «область определения». На большом количестве примеров демонстрировал вред, который не так редко приносит так называемый метод ОДЗ, называя слово ОДЗ «жаргонным» словом.

* * *

Продолжим решение неравенств.

Теперь я покажу на одном и том же примере, как можно использовать понятие ОДЗ и как обойтись без него. Все зависит от моего желания. И только.

6. Скажем, нам надо решить неравенство $$\frac{1}{x(x+1)} +\frac{1}{(x+1)(x+2)} +\frac{1}{(x+2)(x+3)} \le \frac{3}{4} .$$

(Задание 15 тренировочного варианта № 294 Александра Александровича Ларина).

6.а) Приведем решение, в котором ничего не скажем про ОДЗ (область определения неравенства). Использую всего лишь метод прямого прослеживания.

Имеем:

\noindent $$\frac{x^{2} +5x+6+x^{2} +3x+x^{2} +x}{x(x+1)(x+2)(x+3)} \le \frac{3}{4} $$ ; $$\frac{3x^{2} +9x+6}{x(x+1)(x+2)(x+3)} \le \frac{3}{4} $$; $$\frac{x^{2} +3x+2}{x(x+1)(x+2)(x+3)} -\frac{1}{4} \le 0$$; $$\frac{(x+1)(x+2)}{x(x+1)(x+2)(x+3)} -\frac{1}{4} \le 0$$; $$\left\{\begin{array}{c} {x\ne -1} \\ {\frac{1}{x(x+3)} -\frac{1}{4} \le 0} \\ {x\ne -2} \end{array}\right. $$; $$\left\{\begin{array}{c} {x\ne -1} \\ {\frac{x^{2} +3x-4}{x(x+3)} \ge 0} \\ {x\ne -2} \end{array}\right. $$; $$\left\{\begin{array}{c} {x\ne -1} \\ {\frac{(x-1)(x+4)}{x(x+3)} \ge 0} \\ {x\ne -2} \end{array}\right. ;$$ Далее обратимся к методу интервалов.

И получим: $$x\in \left(-\infty ;-4\right]\bigcup \left(-3;-2\right)\bigcup (-2;-1)\bigcup (-1;0)\bigcup \left[1;+\infty \right).$$

О т в е т: $$\left(-\infty ;-4\right]\bigcup \left(-3;-2\right)\bigcup (-2;-1)\bigcup (-1;0)\bigcup \left[1;+\infty \right).$$

Скажу: совсем необязательно было использовать метод прямого прослеживания. Можно было неравенство $$\frac{(x+1)(x+2)}{x(x+1)(x+2)(x+3)} -\frac{1}{4} \le 0$$ заменить цепочкой неравенств- следствий и в впоследствии отсеять посторонние решения.

6.б) А теперь я пойду несколько другим путем. И вот каким.

Мне известно, что если к произведению любых четырех чисел натурального ряда, идущих друг за другом, прибавить 1, то получим квадрат некоторого натурального числа. А здесь как раз в знаменателе мы наблюдаем такую «картину». Пусть наше решение получится несколько длиннее, чем предыдущее, но зато будет интересным попробовать ту идею, о которой я сказал выше. И даже забавно, на мой взгляд.

$$\frac{x^{2} +5x+6+x^{2} +3x+x^{2} +x}{x(x+1)(x+2)(x+3)} \le \frac{3}{4} ; \frac{3x^{2} +9x+6}{x(x+1)(x+2)(x+3)} \le \frac{3}{4} ;\frac{x^{2} +3x+2}{x(x+1)(x+2)(x+3)} \le \frac{1}{4} (*)$$

Преобразуем знаменатель левой части неравенства (*) так:

$$(x(x+3)\cdot (x+1)(x+2)+1)-1=((x^{2} +3x)(x^{2} +3x+2)+1)-1.$$ Пусть $$x^{2} +3x=t,$$ тогда: $$(t(t+2)+1)-1=(t^{2} +2t+1)-1=(t+1)^{2} -1=(t+1+1)(t+1-1)=t(t+2).$$

$$\frac{t+2}{t(t+2)} \le \frac{1}{4} .$$ При $$t\ne -2$$ $$\frac{1}{t} -\frac{1}{4} \le 0;$$ $$\frac{4-t}{4t} \le 0;$$ $$\frac{t-4}{t} \ge 0;$$ $$\left[\begin{array}{c} {t<0} \\ {t\ge 4} \end{array}\right. ;$$ $$\left[\begin{array}{c} {x(x+3)<0} \\ {x^{2} -3x-4\ge 0} \end{array}\right. ;$$ $$\left[\begin{array}{c} {-3$$\left(-\infty ;-4\right]\bigcup \left(-3;-2\right)\bigcup (-2;-1)\bigcup (-1;0)\bigcup \left[1;+\infty \right).$$

При данном подходе к решению неравенств второй степени я использовал идеи своей статьи «Об одном способе решения неравенства второй степени с одной переменной», опубликованной в научно-методическом журнале «Математика в школе». - 2004. - № 8. - С.7-10, которая имеется в разделе «Методические материалы» нашего же сайта.

7. Рассмотрим неравенство $$\frac{6^{x} -4\cdot 3^{x} }{x\cdot 2^{x} -5\cdot 2^{x} -4x+20} \le \frac{1}{x-5} .$$

Не буду начинать решение с поисков ОДЗ. Я чувствую, что это не актуально на данный момент. То, что в знаменателе, пусть там и будет пока. Сделаю только некоторые преобразования, которые не нарушают равносильности получаемых неравенств.

$$\frac{6^{x} -4\cdot 3^{x} }{x\cdot 2^{x} -5\cdot 2^{x} -4x+20} \le \frac{1}{x-5} $$; $$\frac{3^{x} (2^{x} -4)}{2^{x} (x-5)-4(x-5)} -\frac{1}{x-5} \le 0$$; $$\frac{3^{x} (2^{x} -4)}{(x-5)(2^{x} -4)} -\frac{1}{x-5} \le 0;$$ При$$2^{x} \ne 4$$, т.е. $$x\ne 2$$: $$\frac{3^{x} }{x-5} -\frac{1}{x-5} \le 0$$; $$\frac{3^{x} -1}{x-5} \le 0$$; $$\frac{3^{x} -3^{0} }{x-5} \le 0$$; $$\frac{x}{x-5} \le 0$$.

Окончательно: $$\left\{\begin{array}{c} {x\ne 2} \\ {0\le x<5} \end{array}\right. $$. О т в е т: $$\left[0;2\right)\bigcup \left(2;5\right)$$.

И еще...

8. Решите неравенство $$\sqrt{2x-5} \ge x-4$$.

Решение:

Ограничение на х}: $$x\ge 2,5.$$

Здесь возможны два случая:

Случай 1) $$2,5\le x<4.$$ Тогда правая часть заданного неравенства будет отрицательной, а левая часть неотрицательной, как только будет выполнено условие $$x\ge 2,5.$$ Значит, в данном случае частью искомых решений будет само множество $$[2,5;4).$$

Случай 2) $$x\ge 4.$$ Тогда обе части неравенства неотрицательны. Будем возводить их в квадрат и получим равносильное неравенство на множестве $$\left[4;+\infty \right).$$

$$2x-5\ge x^{2} -8x+16$$; $$x^{2} -10x+21\le 0;$$ $$3\le x\le 7.$$ Но на $$\left[4;+\infty \right)$$: $$4\le x\le 7.$$ Это - уже $$\left\{\begin{array}{c} {2x-5\ge 0} \\ {x-4\ge 0} \end{array}\right. ;$$другая часть искомых решений. Объединив полученные результаты, окончательно получим ответ: $$2,5\le x\le 7$$.

Но мы могли бы решить это неравенство и методом прямого прослеживания. Вот так: $$\left[\begin{array}{c} {\left\{\begin{array}{c} {2x-5\ge 0} \\ {x-4<0} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{c} {2x-5\ge 0} \\ {x-4\ge 0} \\ {2x-5\ge x^{2} -8x+16} \end{array}\right. } \end{array}\right. $$; $$\left[\begin{array}{c} {\left\{\begin{array}{c} {x\ge 2,5} \\ {x<4} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{c} {x\ge 2,5} \\ {x\ge 4} \\ {x^{2} -10x+21\le 0} \end{array}\right. } \end{array}\right. $$; $$\left[\begin{array}{c} {2,5\le x<4} \\ {\left\{\begin{array}{c} {x\ge 4} \\ {3\le x\le 7} \end{array}\right. } \end{array}\right. $$ ; $$2,5\le x\le 7$$.

9. Хочется рассмотреть еще одно неравенство: $$\sqrt{2x-5} \le x-4.$$

При решении этого неравенства часто приходится услышать от школьников следующее: правая часть неравенства обязана быть неотрицательной. И с учетом этого факта формируется система, которая якобы приводит к ОДЗ вот таким образом:

$$\left\{\begin{array}{c} {2x-5\ge 0} \\ {x-4\ge 0} \end{array}\right. ;$$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 2,5} \\ {x\ge 4} \end{array}\right. ;$$ $$x\ge 4.$$ ОДЗ: $$\left[4;+\infty \right).$$ При этом допускается грубейшая ошибка из-за незнания определения ОДЗ неравенства. Но лучше бы сказать - области определения неравенства. При таком «решении» даже при получении исключительно правильного ответа, задача не может быть зачтена из-за допущенной неарифметической ошибки. 0 баллов будет обеспечено заведомо.

Ведь при $$x=3$$ обе части неравенства определены, т.е. принимают конкретные числовые значения: левая часть значение равное $$\sqrt{0,5} $$ а правая же - минус 1. Обе части неравенства $$\sqrt{0,5} \le -1$$имеют смысл, т.е. принимают действительные значения. Но только оно неверное числовое неравенство. Говоря по-другому, решений у него нет.

У рассматриваемого неравенства ОДЗ: $$\left[2,5;+\infty \right),$$ никак не $$\left[4;+\infty \right).$$А решение его методом прямого прослеживания будет выглядеть так:

$$\left\{\begin{array}{c} {2x-5\ge 0} \\ {x-4\ge 0} \\ {3x-5\le x^{2} -8x+16} \end{array}\right. $$; $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 2,5} \\ {x\ge 4} \\ {x^{2} -10x+21\ge 0} \end{array}\right. $$; $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 4} \\ {\left[\begin{array}{c} {x\le 3} \\ {x\ge 7} \end{array}\right. } \end{array}\right. $$; $$x\ge 7.$$ Ответ: $$\left[7;+\infty \right).$$

* * *

10. Наконец-то хочу обратить внимание и на такое неравенство: $$\frac{\log _{5} (25x^{6} )-12}{\log _{5}^{2} x-1} \le 1.$$ В процессе решения и до самого конца не намерен освобождаться от знаменателя. Поэтому я пройду мимо понятия ОДЗ. Для удобства в дальнейшей работе все же отмечу, что $$x>0$$ - только в целях обеспечения «безопасности» некоторых преобразований.

А как же это мне сделать, чтобы «и волки были сыты, и овцы были живы»?

Пожалуй я сделаю оговорку: найдем некоторые ограничения на х}. Некоторые - это значит, не все, лишь некоторые. Вполне конкретные, т.е. $$x>0.$$

$$\frac{2+6\cdot \log _{5} x-12}{\log _{5}^{2} x-1} -1\le 0;$$ $$\frac{\log _{5}^{2} x-6\cdot \log _{5} x+9}{(\log _{5} x+1)(\log _{5} x-1)} \le 0$$; $$\frac{(\log _{5} x-3)^{2} }{(\log _{5} x+\log _{5} 5)(\log _{5} x-\log _{5} 5} \le 0;$$ $$\frac{(\log _{5} x-\log _{5} 125)^{2} }{(\log _{5} (5x)-\log _{5} 1)(\log _{5} x-\log _{5} 5)} \le 0;$$ $$\frac{(x-125)^{2} }{(5x-1)(x-5)} \le 0;$$ $$\frac{(x-125)^{2} }{\left(x-\frac{1}{5} \right)(x-5)} \le 0;$$ $$\left[\begin{array}{c} {x=125} \\ {05} \end{array}\right. ;$$ $$\left[\begin{array}{c} {05} \end{array}\right. .$$ Ответ: $$\left(0;\frac{1}{5} \right)\bigcup \left(5;+\infty \right).$$

В заключение мой совет:

1) Разберитесь в понятиях, выучите определения областей определения уравнения и неравенства. Это вы найдете в своих учебниках.

В пособии Г.В.Дорофеева и др. найдите определение ОДЗ (параграфы 5 и 6 раздела 1). Сопоставьте их. И вы поймете, что это одно и то же. С карандашом в руках изучите названные по минимуму оба параграфа этого пособия. Будет лучше, если вы глубоко вникните в суть каждого задания, разобранного в этом Пособии.

2. Обратитесь к своему учителю математики, чтоб он помог вам найти хотя бы два номера журнала «Математика в школе»:

- за 1975-й год № 5, где опубликована статья В.Г. Болтянского «Преодолеть заблуждения, связанные с ОДЗ». В этой статье настолько удачно подобраны уравнения (неравенства), разобраны ходы их решения с помощью метода ОДЗ и без него.

- за 1999 -й год №№ 2, 3 и 4, где Г.В.Дорофеевым рассмотрены конкретные проблемы оценки решений задач в старшей школе.

3. Будьте рядом с Вашим учителем! Ваши проблемы - проблемы учителя, который рядом с вами! У него такое призвание. Невозможного ничего нет.

Если нужной литературы нет в школе, это - не приговор. Обращайтесь в районную библиотеку. Если ее нет в районной библиотеке, то она (райбиблиотека) обращается в областную библиотеку с просьбой на время переслать нужный экземпляр.

И всего вам доброго! Удач и побед!