Перейти к основному содержанию

Вопрос 4. Решал задание 15 варианта 20 из книги 40 вариантов ЕГЭ-2020 (под ред. Ф.Ф.Лысенко). Но мой ответ не совпал с ответом, который приводится в конце книги.

Решал задание 15 варианта 20 из книги 40 вариантов ЕГЭ-2020 (под ред. Ф.Ф.Лысенко). Там задается неравенство $$(5^{2x^{2} +7x-4} )\cdot \log _{\frac{2}{3} } (5^{x^{2} +2x+2} -4)\le 0.$$ Решал так:$$5^{2x^{2} +7x-4} >0$$ при всех значениях х. Тогда: $$\log_{\frac{2}{3}}(5^{x^{2}+2x+2}-4)$$$$\leq 0;5^{x^{2} +2x+2} -4\ge 1;$$ $$5^{x^{2} +2x+2} \ge 5;$$ $$x^{2} +2x+2\ge 1;$$ $$x^{2} +2x+1\ge 0;$$ $$(x+1)^{2} \ge 0$$; $$x-$$ любое действительное число.

Но мой ответ не совпал с ответом, который приводится в конце книги. Там он выглядит так: $$\left(-\infty ;-4\right]\bigcup \left\{-1\right\}\left[\frac{1}{2} ;+\infty \right).$$

Алексей, одиннадцатиклассник, г. Домодедово, Московская область.


Алексей! На экзамене следует решать предложенную задачу, а не самовольно откорректированную. Решение Ваше верное.

Так как Вы интересуетесь вопросом возможной опечатки в условии, то давайте все же разберемся, не допущена ли опечатка на самом деле.

Похоже, что первый множитель, что в левой части заданного неравенства, должен быть не $$5^{2x^{2} +7x-4} $$, а $$5^{2x^{2} +7x-4} -1.$$

Действительно, если названный множитель заменить на $$5^{2x^{2} +7x-4} -1,$$ то его корни окажутся числами: $$-4$$ и $$\frac{1}{2} .$$ Ведь именно эти числа и фигурируют в ответе, приведенном, как пишете Вы, в конце книги.

Давайте рассмотрим неравенство. $$(5^{2x^{2} +7x-4} -1)\cdot \log _{\frac{2}{3} } (5^{x^{2} +2x+2} -4)\le 0 (*)$$

И решим его методом рационализации (замены множителя).

Но прежде покажем, что $$5^{x^{2} +2x+2} -4>0.$$ С этой целью докажем: $$5^{x^{2} +2x+2} \ge 5.$$ $$5^{x^{2} +2x+2} \ge 5$$ $$\Leftrightarrow $$ $$5\cdot 5^{x^{2} +2x+1} \ge 5$$ $$\Leftrightarrow $$ $$5^{x^{2} +2x+1} \ge 1$$ $$\Leftrightarrow $$ $$5^{(x+1)^{2} } \ge 5^{0} $$ $$\Leftrightarrow $$ $$(x+1)^{2} \ge 0$$. Мы получили очевидное неравенство. Тогда нетрудно понять, что для любого значения $$x\in R$$ будет верным неравенство $$5^{x^{2} +2x+2} -4>0.$$ То есть никаких ограничений на значения х не будет. Коли это так, то: $$(5^{2x^{2} +7x-4} -1)\cdot \log _{\frac{2}{3} } (5^{x^{2} +2x+2} -4)\le 0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(5^{2x^{2} +7x-4} -5^{0} )\cdot (\log _{\frac{2}{3} } (5^{x^{2} +2x+2} -4)-\log _{\frac{2}{3} } 1)\le 0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(2x^{2} +7x-4)\cdot \left(\frac{2}{3} -1\right)(5^{x^{2} +2x+2} -4-1)\le 0. $$

Найдем корни квадратного трехчлена: $$x_{1,2} =\frac{-7\pm \sqrt{49+32} }{4} =\frac{-7\pm 9}{4} ;$$ $$\left[\begin{array}{c} {x=-4} \\ {x=\frac{1}{2} } \end{array}\right. .$$

Далее: $$(2x^{2} +7x-4)\cdot \left(\frac{2}{3} -1\right)(5^{x^{2} +2x+2} -5)\le 0$$ $$\Leftrightarrow $$$$(x+4)\cdot \left(x-\frac{1}{2} \right)(x^{2} +2x+2-1)\ge 0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$(x+4)\cdot \left(x-\frac{1}{2} \right)(x-1)^{2} \ge 0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{array}{c} {x=-1} \\ {(x+4)\left(x-\frac{1}{2} \right)\ge 0} \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{array}{c} {x=-1} \\ {x\ge \frac{1}{2} } \\ {x\le -4} \end{array}\right. .$$

Мы получили окончательный результат, который совпадает с тем, что приводится в книге.

Алексей! Повторюсь, на экзамене надо решать задачу, предложенную, не корректируя условия. Если же задача не имеет решения, то отсутствие решения надо доказать в обязательном порядке.


Гилемханов Радиф Галиевич