Перейти к основному содержанию

Вопрос 1. По каким учебникам по математике лучше готовиться к ЕГЭ?

Сейчас очень много различных учебников по математике. Геометрию мы изучаем по учебникам Атанасяна. Какими учебниками по математике лучше готовиться к ЕГЭ?

(Десятиклассница, г. Самара).


Параллельных учебников в настоящее время действительно много. В одних школах или просто в отдельных классах геометрию изучают по учебникам Л.С.Атанасяна и др., в других -- А.В.Погорелова, в-третьих - по учебникам И.Ф.Шарыгина и т.д.

Обучение ведется по одному из учебников, включенных в Федеральный перечень учебников, рекомендованных к использованию в общеобразовательных организациях, утвержденный Министерством просвещения РФ.

При решении заданий с развернутым ответом могут быть использованы без доказательства и ссылок любые математические факты, имеющиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень. Вовсе не обязательно иметь в виду только те учебники, по которым занимаетесь в школе именно вы. Эта норма включена в Демонстрационный вариант ЕГЭ 2020 г. по математике, профильный уровень. Документ утвержден 7 ноября 2019 г. уполномоченным лицом - директором Федерального института педагогических измерений.

Возникает естественный дополнительный вопрос: что значит «любой математический факт»? Это - определения математических понятий, их свойства, реализованные в теоремах, следствиях из них. Даже в некоторых задачах, к которым в учебнике приведены полные решения. Например, признак вписанной окружности в четырехугольник (задача 724 Л.С.Атанасян, Геометрия 7-9, 2914. С. 186).

Есть случаи, когда та или иная теорема (формула) в учебнике одного автора имеется, а в учебнике другого автора - нет. 

Пользуясь случаем, приведем теорему об отношении объемов треугольных пирамид, которая, быть может, некоторым старшеклассникам даже неизвестна. 

Но она имеется в учебнике И.Ф.Шарыгина, Геометрия 10-11, 2013. С 130. И вот как она «звучит» там.

Теорема 5.5

Рассмотрим три прямые, не лежащие в одной плоскости и проходящие через общую точку $$D$$. Пусть $$A_1$$ и $$A_2$$-- какие-то две точки на одной прямой, $$B_1$$ и $$B_2$$ - на другой, $$C_1$$ и $$C_2$$ - на третьей, $$V_1-$$ объем тетраэдра (треугольной пирамиды) $$A_1B_1C_1D,$$ $$V_2-$$ объем тетраэдра $$A_2B_2C_2D.$$

Тогда  \[\frac{V_1}{V_2}=\frac{DA_1}{DA_2}\cdot \frac{DB_1}{DB_2}\cdot \frac{DC_1}{DC_2}.\]

Доказательство. Обозначим через $$h_1$$ и $$h_2$$соответственно расстояния от точек $$C_1$$ и $$C_2$$ до плоскости $$DA_1B_1$$ (она же плоскость $$DA_2B_2$$, рис.). Имеем $$\frac{h_1}{h_2}=\frac{DC_1}{DC_2},$$ $$V_1=\frac{1}{3}h_1S_{DA_1B_1}.$$ $$V_2=\frac{1}{3}h_2S_{DA_2B_2}.$$ Следовательно, $$\frac{V_{1} }{V_{2} } =\frac{S_{DA_{1} B_{1} } }{S_{DA_{2} B_{2} } } \cdot \frac{h_{1} }{h_{2} } =$$$$\frac{DA_1}{DA_2}\cdot \frac{DB_1}{DB_2}\cdot \frac{DC_1}{DC_2}.$$ (В последнем равенстве мы использовали планиметрический факт, что площади треугольников $$DA_1B_1$$ и $$DA_2B_2,$$ у которых углы при вершине $$D$$ либо равны, либо дополняют друг друга до $$180^{\circ }$$, относятся как произведения сторон, выходящих из вершины $$D.)$$ 


Замечание.

Если точки $$A_2,B_2,C_2$$ лежат не на лучах $$DA_1,DB_1$$и $$DC_1,$$ а на соответствую-щих прямых, то тетраэдры $$DA_1B_1C_1$$ и $$DA_2B_2C_2$$ могут быть расположены не так, как на рисунке... Заключение теоремы при этом не меняется.»

И эта теорема очень часто используется при анализе задач, решаемых методом объемов. Ее можно использовать при решении задач на четырехугольные и другие многоугольные пирамиды (необязательно правильные),  разбив их на треугольные пирамиды.