Скажем, клиент взял кредит в банке на 3 года под $$r$$% годовых. Схема выплаты кредита такова: по истечении 1 года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, т.е. увеличивает долг на $$r$$%, затем клиент переводит в банк Ф у.е.
Какой должна быть сумма Ф, чтобы клиент выплатил долг тремя равными платежами?
Рассмотрим эту задачу в общем виде.
Пусть взятый кредит $$К$$ у.е. Для удобства в расчетах введем новую переменную, обозначив $$1+0,01r=m$$
По истечении одного года банк начисляет процентную ставку. Долг становится равным $$Кm$$ у.е.
Клиент переводит банку Ф у.е., после чего долг клиента становится $$(Кт-Ф)$$ у.е.
В начале следующего кредитного года банк вновь начисляет процентную ставку. Долг становится равным $$(Кm-Ф)\cdot m=Кm^2-Фт$$ у.е.
Клиент переводит банку Ф у.е. Долг уменьшается до $$(Кm^2-Фm-Ф)$$ у.е.
Наступает новый кредитный год. Банк очередной раз начисляет процентную ставку. Долг становится $$(Кm^3-Фm^2-Фm)$$ у.е.
Клиент, заплатив {Ф} у.е. , погашает этот последний долг и рассчитывается с банком полностью.
Таким образом, имеем уравнение: $$Кm^3-Фm^2-Фm=Ф.$$ Решив это уравнение относительно Ф, получим: $$Ф=\frac{Кm^3}{m^2+m+1}$$ или с учетом замены, введенной выше:
$$Ф=\frac{К(1+0,01r)^3}{(1+0,01r)^2+(1+0,01r)+1} (*)$$
Можно было бы формулу (*) обобщить на случай произвольного срока кредитования, равного n лет (месяцев, иной срок):
$$Ф=\frac{К(1+0,01r)^n}{(1+0,01r)^{n-1}+(1+0,01r)^{n-2}+...+(1+0,01r)^1+1} (**)$$
Однако, чтоб не иметь разбирательств со строгими экспертами, не тратить нервов и времени, пользоваться этой формулой на ЕГЭ, разумеется, не следует, поскольку такой формулы нет ни в едином учебнике, адресованной школьникам. Ее в каждом конкретном случае следует выводить самому, если она окажется полезной при решении той или иной задачи.
Коли это так, то мы при решении задач указанного типа так и будем поступать.
Задача 12.
15-го июля Сергей планирует взять кредит в банке на сумму 40492800 рублей под 12\% годовых.
Схема выплаты кредита такова:
Какой должна быть сумма х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
Р е ш е н и е:
Решение наше покажем в следующей таблице (в руб.):
| Номер кредитного года | Долг Сергея на начало кредитного года | Сумма платежа | Долг Сергея после внесенного платежа |
| 1 | 40492 800$$\cdot$$1,12 = 45351936 | х | 45351936 - х |
| 2 | (45351936 - х)$$\cdot$$ 1,12 = 50794168,32 - 1,12х | х | 50794168,32 - 2,12х |
| 3 | (50794168,32-1,12{х})$$\cdot$$ 1,12 = 56889468,5184 - - 2 , 3744{х} | х | 56889468,5184-3,3744х=0 |
Решим уравнение $$3,3744х=56889468,5184\Leftrightarrow х=16859136.$$
О т в е т: $$16859136$$ руб.
Однако, при решении задачи можно использовать и такие нормы расчетов. Например,сумму кредита обозначим{ К}. При $$К=404928\cdot 100$$:
| Номер\newline кредит- ного года | Долг Сергея на начало кредитного года | Сумма платежа | Долг Сергея после внесенного платежа |
| 1 | К$$\cdot$$1,12 = 1,12К | x | 1,12К - х |
| 2 | (1,12К- х)$$\cdot$$ 1,12 = $$1,12^2К$$-1,12х | x | $$1,12^2К$$- 2,12х |
| 3 | $$(1,12^2К-2,12х)\cdot$$$$ 1,12=1,12^3К-2,3744х$$ | x | $$1,12^3К-3,3744х=0$$ |
Решим уравнение $$3,3744х=1,12^3\cdot 404928\cdot 100\Leftrightarrow $$ $$3,3794х=\frac{112\cdot 112\cdot 112\cdot 404928\cdot 100}{100\cdot 100\cdot 100}\Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow 48\cdot 703х=112\cdot 112\cdot 112\cdot 16\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 703 \Leftrightarrow х=112^3\cdot 12.$$
Для вычисления значения выражения $$112^3$$ воспользуемся формулой куба суммы двух выражений. $$112^3= (100+12)^3=$$$$1000000+3\cdot 10000\cdot 12+3\cdot 100\cdot 144+144\cdot (10+2)=$$$$1000000+(360000+43200+1440+280)=$$$$1000000+404928=1404928$$
Далее: $$1404928\cdot 12=1404980\cdot (10+2)=$$$$14049280+2809856=16859136$$
Задача 13.
8 марта Леня Голубков взял в банке 53 680 рублей в кредит на 4 года под 20\% годовых, чтобы купить своей жене Рите новую шубу. Схема выплаты кредита следующая: - утром 8 марта следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20\%); - а вечером того же дня Леня переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа (все четыре года эта сумма одинакова). Какую сумму сверх взятых 53 680 рублей должен будет выплатить банку Леня Голубков за эти четыре года?
Р е ш е н и е:
Обратимся вновь к табличному «языку».
Пусть $$К=53680$$, х - сумма ежегодного платежа Лени. (в руб.)
| Номер кредитного года | Долг Лёни на начало кредитного года | Сумма платежа | Долг Лёни после внесенного платежа |
| 1 | $$К\cdot \frac{6}{5}=\frac{6}{5}К$$ | x | $$\frac{6}{5}К-х$$ |
| 2 | $$\left(\frac{6}{5}К-х\right)\cdot \frac{6}{5}=$$$$\frac{6^2}{5^2}К-\frac{6}{5}х$$ | x | $$\frac{6^2}{5^2}К-\frac{11}{5}х$$ |
| 3 | $$\left(\frac{6^2}{5^2}К-\frac{11}{5}х\right)\cdot \frac{6}{5}=$$$$\frac{6^3}{5^3}К-\frac{66}{25}х$$ | x | $$\frac{6^3}{5^3}К-\frac{91}{25}х$$ |
| 4 | $$\left(\frac{6^3}{5^3}К-\frac{91}{25}х\right)\cdot \frac{6}{5}=$$$$\frac{6^4}{5^4}К-\frac{546}{125}х$$ | x | $$\frac{6^4}{5^4}К-\frac{671}{125}х=0$$ |
Решим уравнение $$\frac{6^4}{5^4}К-\frac{671}{125}х=0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$\frac{671}{125}х=\frac{1296\cdot 53680}{625}$$ $$\Leftrightarrow $$ $$х=\frac{1296\cdot 80}{5}$$ $$\Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow х=1296\cdot 16$$ $$\Leftrightarrow $$ $$х=20736.$$
Искомая разница равна $$20736\cdot 4-53680=29264.$$
О т в е т: 29264 рубля.
Задача 14.
Максим хочет взять кредит 1,5 млн рублей под 10\% годовых. Погашение части кредита происходит раз в год равными платежами (кроме, быть может, последней) после начисления процентов.
На какое минимальное количество лет Максим может взять указанный кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?
Р е ш е н и е:
| Год кредито-вания | Долг Максима на начало кредитного года | Сумма платежа | Долг Максима на конец кредитного года |
| 1 | 1500000 $$\cdot $$ 1,1 = 1650000 | 350000 | 1300000 |
| 2 | 1300000 $$\cdot $$ 1,1 = 1430 000 | 350000 | 1080000 |
| 3 | 1080 000 $$\cdot $$ 1,1 = 1188 000 | 350000 | 838000 |
| 4 | 838000 $$\cdot $$ 1,1 = 921 800 | 350000 | 571800 |
| 5 | 571800 $$\cdot $$ 1,1 = 621 980 | 350000 | 278980 |
| 6 | 278980 $$\cdot $$ 1,1 = 306 878 | 306 878 | 0 |
О т в е т: 6.
Задача 15.
Иван Иванович взял в банке 910000 рублей в кредит под 20\% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20\%), затем Иван Иванович переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Иван Иванович выплатил долг тремя равными годовыми платежами?
Решение (в руб.):
| Номер\newline кредит- ного года | Долг Ивана Ивановича \newline на начало кредитного года | Сумма платежа | Долг Ивана Ивановича после внесенного очередного платежа |
| 1 | - | - | 910000 |
| 2 | $$910000\cdot 1,2=1092000$$ | x | $$1092000-х$$ |
| 3 | $$(1092000-х)\cdot 1,2=$$$$1310400-1,2х$$ | x | $$1310400-2,2х$$ |
| 4 | $$(1310400-2,2х)\cdot 1,2=$$$$1572480-2,64х$$ | x | $$1572480-3,64х$$ |
По условию: $$1572480-3,64х=0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$364х=157248000$$ $$\Leftrightarrow $$ $$х=432000.$$
О т в е т: 432000 рублей.
Задача 16.
В октябре 2016 года взяли кредит в банке на некоторую сумму в рублях. Условия возврата таковы:
Определите, на какую сумму взяли кредит в банке, если известно, что кредит был полностью погашен в течение трех лет тремя равными платежами и общая сумма выплат больше суммы взятого кредита на 8324 рубля.
Р е ш е н и е:
Предположим, что сумма кредита равна $$S$$ рублей. Каждый год кредитования 1 -го января долг клиента возрастал на 8\%, т.е. в $$\frac{27}{25}$$ раз. $$\left(\frac{108}{100}=\frac{27}{25}\right).$$
Выплаченная ежегодно часть долга составляла, скажем, х рублей.
Каждый год кредитования рассмотрим отдельно.
Первый год: В январе сумма долга $$\frac{27}{25}S$$ рублей. Выплаченная часть долга $$x$$ рублей. Долг к концу года $$\frac{27}{25}S-x$$ рублей.
Второй год: В январе сумма долга составляет $$\left(\frac{27}{25}S-х\right)\cdot \frac{27}{25}=$$$${\left(\frac{27}{25}\right)}^2S-\frac{27}{25}x$$ рублей. Выплаченная часть долга $$x$$ рублей. Долг к концу года составит $${\left(\frac{27}{25}\right)}^2S-\frac{27}{25}x-x=$$$${\left(\frac{27}{25}\right)}^2S-\frac{52}{25}x$$ рублей.
Третий год: В январе сумма долга составляет $$\left({\left(\frac{27}{25}\right)}^2S-\frac{52}{25}x\right)\cdot \frac{27}{25}=$$$${\left(\frac{27}{25}\right)}^3S-\frac{52\cdot 27}{25^2}x$$ рублей. Выплаченная часть долга $$x$$ рублей. Долг к концу года составит $${\left(\frac{27}{25}\right)}^3S-\frac{1404}{25^2}x-x=$$$${\left(\frac{27}{25}\right)}^3S-\frac{1404+625}{25^2}x=$$$${\left(\frac{27}{25}\right)}^3S-\frac{2029}{25^2}x$$ рублей.
А это значит, что $${\left(\frac{27}{25}\right)}^3S-\frac{2029}{25^2}x=0$$$$\Leftrightarrow$$$$\frac{2029}{25^2}x=\frac{27^3S}{25^3} \Leftrightarrow$$ $$2029x=\frac{19683S}{25} \Leftrightarrow$$ $$x=\frac{19683S}{25\cdot 2029} \Leftrightarrow$$ $$3x=\frac{59049S}{50725}$$
По условию задачи: $$\frac{59049}{50725}S-S=8324$$$$\Leftrightarrow $$$$\frac{59049-50725}{50725}S=8324$$ $$\Leftrightarrow $$$$\frac{8324}{50725}S=8324$$.
$$\frac{S}{50725}=1 \Leftrightarrow$$ $$S=50725.$$
О т в е т: $$50725$$ рублей.
Задача 17.
31 декабря Тимофей взял в банке 7007000 рублей в кредит под 20\% годовых.
Схема выплаты кредита следующая:
31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа.
На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Р е ш е н и е:
а) Тимофей весь долг выплатил за 3 равных платежа. И пусть каждый платеж составлял х руб. Заполним таблицу (в руб.)
| Номер кредитного года | Долг Тимофея на начало кредитного года | Сумма платежа | Долг Тимофея после внесенного очередного платежа |
| 1 | - | - | 700700 |
| 2 | $$7007000\cdot 1,2=8408400$$ | x | $$8408400-х$$ |
| 3 | $$(8408400-х)1,2=$$$$10090080-1,2х$$ | x | $$10090080-2,2х$$ |
| 4 | $$(10090080-2,2х)\cdot 1,2=$$$$12108096-2,64х$$ | x | $$12108096-3,64х$$ |
По условию: $$12108096-3,64х=0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$364х=1210809600$$ $$\Leftrightarrow $$ $$х=3326400.$$
б) Долг был выплачен за 2 равных платежа, каждый из которых составляет у руб. Очевидно, мы будем иметь уравнение: $$22у=100900800$$ $$\Leftrightarrow $$ $$у=4586400.$$
в) Найдем искомую разницу. $$3х-2у=3326400\cdot 3-4586400\cdot 2=$$$$9979200-9172800=806400.$$
О т в е т: на 806400 руб.
Задача 18.
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
Известно, что если ежегодно выплачивать по 72000 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 122000 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите число $$r.$$
Р е ш е н и е:
Пусть размер кредита составляет {К} рублей. Динамику погашения долга перед банком покажем в таблице (в руб.).
| Год кредитования | Долг на начало кредитного года | Размер выплаты | Долг к концу кредитного года |
| Случай погашения кредита за 4 года | |||
| 1 | $$Kq,$$ ($$q=1+0,01r)$$ | 72000 | $$Kq-72000$$ |
| 2 | $$(Kq-72000)q=Kq^2-72000q$$ | 72000 | $$Kq^2-72000q-72000$$ |
| 3 | $$(Kq^2-72000q-72000)q=$$$$Kq^3-72000q^2-72000q$$ | 72000 | $$Kq^3-72000q^2-72000q-72000$$ |
| 4 | $$(Kq^3-72000q^2-72000q-72000)q=$$$$Kq^4-72000q^3-72000q^2-72000q$$ | 72000 | $$Kq^4-72000q^3-72000q^2-72000q-72000$$ |
| 1 | $$Kq,$$ ($$q=1+0,01r)$$ | 122000 | $$Kq-122000$$ |
| 2 | $$(Kq-122000)q=$$$$Kq^2-122000q$$ | 122000 | $$Kq^2-122000q-122000$$ |
Далее имеем:
Правые части равенств $$(*)$$и $$(**)$$представляют собой суммы $$S_n$$ первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:
Тогда: $$Kq^4=\frac{72000\cdot q^3\cdot q-72000}{q-1}$$ $$\Leftrightarrow $$ $$K=\frac{72000\cdot (q^4-1)}{q^4(q-1)}$$(1)
$$Kq^2=\frac{122000\cdot q\cdot q-122000}{q-1}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$K=\frac{122000\cdot (q^2-1)}{q^2(q-1)}$$(2)
Поделив почленно равенство (1) на равенство (2), будем иметь:
$$\frac{72000\cdot q^{4} -1)}{q^{4} q-1)} :\frac{122000\cdot (q^2-1)}{q^2(q-1)}=1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{72000\cdot (q^4-1)\cdot q^2(q-1)}{ q^4(q-1)\cdot 122000\cdot (q^2-1)}=1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{36\cdot (q^2+1)}{q^2\cdot 61}=1$$
Откуда: $$61q^2=36q^2+36$$ $$\Leftrightarrow $$ $$25q^2=36$$. Положительный корень этого уравнения равен $$6/5$$ или $$1,2$$.
Но $$q=1+0,01r.$$ Значит, $$1+0,01r=1,2$$ $$\Leftrightarrow $$ $$0,01r=0,2$$ $$\Leftrightarrow $$ $$r=20.$$
О т в е т: 20.