Перейти к основному содержанию

О решении задач на кредиты и вклады. Если клиент каждый раз обязан возвращать банку одну и ту же сумму.

Скажем, клиент взял кредит в банке на 3 года под $$r$$% годовых. Схема выплаты кредита такова: по истечении 1 года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, т.е. увеличивает долг на $$r$$%, затем клиент переводит в банк Ф у.е.

Какой должна быть сумма Ф, чтобы клиент выплатил долг тремя равными платежами?

Рассмотрим эту задачу в общем виде.

Пусть взятый кредит $$К$$ у.е. Для удобства в расчетах введем новую переменную, обозначив $$1+0,01r=m$$

По истечении одного года банк начисляет процентную ставку. Долг становится равным $$Кm$$ у.е.

Клиент переводит банку Ф у.е., после чего долг клиента становится $$(Кт-Ф)$$ у.е.

В начале следующего кредитного года банк вновь начисляет процентную ставку. Долг становится равным $$(Кm-Ф)\cdot m=Кm^2-Фт$$ у.е.

Клиент переводит банку Ф у.е. Долг уменьшается до $$(Кm^2-Фm-Ф)$$ у.е.

Наступает новый кредитный год. Банк очередной раз начисляет процентную ставку. Долг становится $$(Кm^3-Фm^2-Фm)$$ у.е.

Клиент, заплатив {Ф} у.е. , погашает этот последний долг и рассчитывается с банком полностью.

Таким образом, имеем уравнение: $$Кm^3-Фm^2-Фm=Ф.$$ Решив это уравнение относительно Ф, получим: $$Ф=\frac{Кm^3}{m^2+m+1}$$ или с учетом замены, введенной выше:

$$Ф=\frac{К(1+0,01r)^3}{(1+0,01r)^2+(1+0,01r)+1} (*)$$

Можно было бы формулу (*) обобщить на случай произвольного срока кредитования, равного n лет (месяцев, иной срок):

$$Ф=\frac{К(1+0,01r)^n}{(1+0,01r)^{n-1}+(1+0,01r)^{n-2}+...+(1+0,01r)^1+1} (**)$$

Однако, чтоб не иметь разбирательств со строгими экспертами, не тратить нервов и времени, пользоваться этой формулой на ЕГЭ, разумеется, не следует, поскольку такой формулы нет ни в едином учебнике, адресованной школьникам. Ее в каждом конкретном случае следует выводить самому, если она окажется полезной при решении той или иной задачи.

Коли это так, то мы при решении задач указанного типа так и будем поступать.

Задача 12.

15-го июля Сергей планирует взять кредит в банке на сумму 40492800 рублей под 12\% годовых.

Схема выплаты кредита такова:

- 1-го января следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, то есть увеличивает долг на 12%;
- со 2-го по 14-е января каждого года Сергей переводит в банк х рублей.

Какой должна быть сумма х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Р е ш е н и е:

Решение наше покажем в следующей таблице (в руб.):

Номер кредитного года Долг Сергея на начало кредитного года Сумма платежа Долг Сергея после внесенного платежа
1 40492 800$$\cdot$$1,12 = 45351936 х 45351936 - х
2 (45351936 - х)$$\cdot$$ 1,12 = 50794168,32 - 1,12х х 50794168,32 - 2,12х
3 (50794168,32-1,12{х})$$\cdot$$ 1,12 = 56889468,5184 - - 2 , 3744{х} х 56889468,5184-3,3744х=0

Решим уравнение $$3,3744х=56889468,5184\Leftrightarrow х=16859136.$$

О т в е т: $$16859136$$ руб.

Однако, при решении задачи можно использовать и такие нормы расчетов. Например,сумму кредита обозначим{ К}. При $$К=404928\cdot 100$$:

Номер\newline кредит- ного года Долг Сергея на начало кредитного года Сумма платежа Долг Сергея после внесенного платежа
1 К$$\cdot$$1,12 = 1,12К x 1,12К - х
2 (1,12К- х)$$\cdot$$ 1,12 = $$1,12^2К$$-1,12х x $$1,12^2К$$- 2,12х
3 $$(1,12^2К-2,12х)\cdot$$$$  1,12=1,12^3К-2,3744х$$ x $$1,12^3К-3,3744х=0$$

Решим уравнение $$3,3744х=1,12^3\cdot 404928\cdot 100\Leftrightarrow $$ $$3,3794х=\frac{112\cdot 112\cdot 112\cdot 404928\cdot 100}{100\cdot 100\cdot 100}\Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow 48\cdot 703х=112\cdot 112\cdot 112\cdot 16\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 703 \Leftrightarrow х=112^3\cdot 12.$$

Для вычисления значения выражения $$112^3$$ воспользуемся формулой куба суммы двух выражений. $$112^3= (100+12)^3=$$$$1000000+3\cdot 10000\cdot 12+3\cdot 100\cdot 144+144\cdot (10+2)=$$$$1000000+(360000+43200+1440+280)=$$$$1000000+404928=1404928$$

Далее: $$1404928\cdot 12=1404980\cdot (10+2)=$$$$14049280+2809856=16859136$$

Задача 13.

8 марта Леня Голубков взял в банке 53 680 рублей в кредит на 4 года под 20\% годовых, чтобы купить своей жене Рите новую шубу. Схема выплаты кредита следующая: - утром 8 марта следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20\%); - а вечером того же дня Леня переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа (все четыре года эта сумма одинакова). Какую сумму сверх взятых 53 680 рублей должен будет выплатить банку Леня Голубков за эти четыре года?

Р е ш е н и е:

Обратимся вновь к табличному «языку».

Пусть $$К=53680$$, х - сумма ежегодного платежа Лени. (в руб.)

Номер кредитного года Долг Лёни на начало кредитного года Сумма платежа Долг Лёни после внесенного платежа
1 $$К\cdot \frac{6}{5}=\frac{6}{5}К$$ x $$\frac{6}{5}К-х$$
2 $$\left(\frac{6}{5}К-х\right)\cdot \frac{6}{5}=$$$$\frac{6^2}{5^2}К-\frac{6}{5}х$$ x $$\frac{6^2}{5^2}К-\frac{11}{5}х$$
3 $$\left(\frac{6^2}{5^2}К-\frac{11}{5}х\right)\cdot \frac{6}{5}=$$$$\frac{6^3}{5^3}К-\frac{66}{25}х$$ x $$\frac{6^3}{5^3}К-\frac{91}{25}х$$
4 $$\left(\frac{6^3}{5^3}К-\frac{91}{25}х\right)\cdot \frac{6}{5}=$$$$\frac{6^4}{5^4}К-\frac{546}{125}х$$ x $$\frac{6^4}{5^4}К-\frac{671}{125}х=0$$

Решим уравнение $$\frac{6^4}{5^4}К-\frac{671}{125}х=0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$\frac{671}{125}х=\frac{1296\cdot 53680}{625}$$ $$\Leftrightarrow $$ $$х=\frac{1296\cdot 80}{5}$$ $$\Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow х=1296\cdot 16$$ $$\Leftrightarrow $$ $$х=20736.$$

Искомая разница равна $$20736\cdot 4-53680=29264.$$

О т в е т: 29264 рубля.

Задача 14. 

Максим хочет взять кредит 1,5 млн рублей под 10\% годовых. Погашение части кредита происходит раз в год равными платежами (кроме, быть может, последней) после начисления процентов.

На какое минимальное количество лет Максим может взять указанный кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?

 

Р е ш е н и е:

Год кредито-вания Долг Максима на начало кредитного года Сумма платежа Долг Максима на конец кредитного года
1 1500000 $$\cdot $$ 1,1 = 1650000 350000 1300000
2 1300000 $$\cdot $$ 1,1 = 1430 000 350000 1080000
3 1080 000 $$\cdot $$ 1,1 = 1188 000 350000 838000
4 838000 $$\cdot $$ 1,1 = 921 800 350000 571800
5 571800 $$\cdot $$ 1,1 = 621 980 350000 278980
6 278980 $$\cdot $$ 1,1 = 306 878 306 878 0

О т в е т: 6.

Задача 15.

Иван Иванович взял в банке 910000 рублей в кредит под 20\% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20\%), затем Иван Иванович переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Иван Иванович выплатил долг тремя равными годовыми платежами?

Решение (в руб.):

 

Номер\newline кредит- ного года Долг Ивана Ивановича \newline на начало кредитного года Сумма платежа Долг Ивана Ивановича после внесенного очередного платежа
1 - - 910000
2 $$910000\cdot 1,2=1092000$$ x $$1092000-х$$
3 $$(1092000-х)\cdot 1,2=$$$$1310400-1,2х$$ x $$1310400-2,2х$$
4 $$(1310400-2,2х)\cdot 1,2=$$$$1572480-2,64х$$ x $$1572480-3,64х$$

По условию: $$1572480-3,64х=0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$364х=157248000$$ $$\Leftrightarrow $$ $$х=432000.$$

О т в е т: 432000 рублей.

Задача 16.

В октябре 2016 года взяли кредит в банке на некоторую сумму в рублях. Условия возврата таковы:

- в январе каждого года долг возрастает на 8\% по сравнению с долгом в октябре;
- с февраля по 30 сентября каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом;

Определите, на какую сумму взяли кредит в банке, если известно, что кредит был полностью погашен в течение трех лет тремя равными платежами и общая сумма выплат больше суммы взятого кредита на 8324 рубля.

Р е ш е н и е:

Предположим, что сумма кредита равна $$S$$ рублей. Каждый год кредитования 1 -го января долг клиента возрастал на 8\%, т.е. в $$\frac{27}{25}$$ раз. $$\left(\frac{108}{100}=\frac{27}{25}\right).$$

Выплаченная ежегодно часть долга составляла, скажем, х рублей.

Каждый год кредитования рассмотрим отдельно.

Первый год: В январе сумма долга $$\frac{27}{25}S$$ рублей. Выплаченная часть долга $$x$$ рублей. Долг к концу года $$\frac{27}{25}S-x$$ рублей.

Второй год: В январе сумма долга составляет $$\left(\frac{27}{25}S-х\right)\cdot \frac{27}{25}=$$$${\left(\frac{27}{25}\right)}^2S-\frac{27}{25}x$$ рублей. Выплаченная часть долга $$x$$ рублей. Долг к концу года составит $${\left(\frac{27}{25}\right)}^2S-\frac{27}{25}x-x=$$$${\left(\frac{27}{25}\right)}^2S-\frac{52}{25}x$$ рублей.

Третий год: В январе сумма долга составляет $$\left({\left(\frac{27}{25}\right)}^2S-\frac{52}{25}x\right)\cdot \frac{27}{25}=$$$${\left(\frac{27}{25}\right)}^3S-\frac{52\cdot 27}{25^2}x$$ рублей. Выплаченная часть долга $$x$$ рублей. Долг к концу года составит $${\left(\frac{27}{25}\right)}^3S-\frac{1404}{25^2}x-x=$$$${\left(\frac{27}{25}\right)}^3S-\frac{1404+625}{25^2}x=$$$${\left(\frac{27}{25}\right)}^3S-\frac{2029}{25^2}x$$ рублей.

А это значит, что $${\left(\frac{27}{25}\right)}^3S-\frac{2029}{25^2}x=0$$$$\Leftrightarrow$$$$\frac{2029}{25^2}x=\frac{27^3S}{25^3} \Leftrightarrow$$ $$2029x=\frac{19683S}{25} \Leftrightarrow$$ $$x=\frac{19683S}{25\cdot 2029} \Leftrightarrow$$ $$3x=\frac{59049S}{50725}$$

По условию задачи: $$\frac{59049}{50725}S-S=8324$$$$\Leftrightarrow $$$$\frac{59049-50725}{50725}S=8324$$ $$\Leftrightarrow $$$$\frac{8324}{50725}S=8324$$.

$$\frac{S}{50725}=1 \Leftrightarrow$$ $$S=50725.$$

О т в е т: $$50725$$ рублей.

Задача 17.

31 декабря Тимофей взял в банке 7007000 рублей в кредит под 20\% годовых.

Схема выплаты кредита следующая:

31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа.

На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Р е ш е н и е:

а) Тимофей весь долг выплатил за 3 равных платежа. И пусть каждый платеж составлял х руб. Заполним таблицу (в руб.)

 Номер кредитного года Долг Тимофея на начало кредитного года Сумма платежа Долг Тимофея после внесенного очередного платежа
1 - - 700700
2 $$7007000\cdot 1,2=8408400$$ x $$8408400-х$$
3 $$(8408400-х)1,2=$$$$10090080-1,2х$$ x $$10090080-2,2х$$
4 $$(10090080-2,2х)\cdot 1,2=$$$$12108096-2,64х$$ x $$12108096-3,64х$$

По условию: $$12108096-3,64х=0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$364х=1210809600$$ $$\Leftrightarrow $$ $$х=3326400.$$

б) Долг был выплачен за 2 равных платежа, каждый из которых составляет у руб. Очевидно, мы будем иметь уравнение: $$22у=100900800$$ $$\Leftrightarrow $$ $$у=4586400.$$

в) Найдем искомую разницу. $$3х-2у=3326400\cdot 3-4586400\cdot 2=$$$$9979200-9172800=806400.$$

О т в е т: на 806400 руб.

Задача 18.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на $$r\%$$ по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Известно, что если ежегодно выплачивать по 72000 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 122000 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите число $$r.$$

Р е ш е н и е:

Пусть размер кредита составляет {К} рублей. Динамику погашения долга перед банком покажем в таблице (в руб.).

 

Год кредитования Долг на начало кредитного года Размер выплаты Долг к концу кредитного года
Случай погашения кредита за 4 года
1 $$Kq,$$ ($$q=1+0,01r)$$ 72000 $$Kq-72000$$
2 $$(Kq-72000)q=Kq^2-72000q$$ 72000 $$Kq^2-72000q-72000$$
3 $$(Kq^2-72000q-72000)q=$$$$Kq^3-72000q^2-72000q$$ 72000 $$Kq^3-72000q^2-72000q-72000$$
4 $$(Kq^3-72000q^2-72000q-72000)q=$$$$Kq^4-72000q^3-72000q^2-72000q$$ 72000 $$Kq^4-72000q^3-72000q^2-72000q-72000$$
 
1 $$Kq,$$ ($$q=1+0,01r)$$ 122000 $$Kq-122000$$
2 $$(Kq-122000)q=$$$$Kq^2-122000q$$ 122000 $$Kq^2-122000q-122000$$

Далее имеем:

$$Kq^4=72000q^3+72000q^2+72000q+72000 (*)$$
$$[Kq^2=122000q^2+122000q+122000 (**)$$

Правые части равенств $$(*)$$и $$(**)$$представляют собой суммы $$S_n$$ первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

с первым членом, равным $$72000,$$ знаменателем $$q,n=4$$ - в равенстве (*)
с первым членом, равным $$122000,$$ знаменателем $$q,n=2$$ - в равенстве (**).

Тогда: $$Kq^4=\frac{72000\cdot q^3\cdot q-72000}{q-1}$$ $$\Leftrightarrow $$ $$K=\frac{72000\cdot (q^4-1)}{q^4(q-1)}$$(1)

$$Kq^2=\frac{122000\cdot q\cdot q-122000}{q-1}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$K=\frac{122000\cdot (q^2-1)}{q^2(q-1)}$$(2)

Поделив почленно равенство (1) на равенство (2), будем иметь:

$$\frac{72000\cdot q^{4} -1)}{q^{4} q-1)} :\frac{122000\cdot (q^2-1)}{q^2(q-1)}=1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{72000\cdot (q^4-1)\cdot q^2(q-1)}{ q^4(q-1)\cdot 122000\cdot (q^2-1)}=1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{36\cdot (q^2+1)}{q^2\cdot 61}=1$$

Откуда: $$61q^2=36q^2+36$$ $$\Leftrightarrow $$ $$25q^2=36$$. Положительный корень этого уравнения равен $$6/5$$ или $$1,2$$.

Но $$q=1+0,01r.$$ Значит, $$1+0,01r=1,2$$ $$\Leftrightarrow $$ $$0,01r=0,2$$ $$\Leftrightarrow $$ $$r=20.$$

О т в е т: 20.