Перейти к основному содержанию

ОГЭ 2020. Вариант 2. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Решаем 2 вариант ОГЭ Ященко 2020 года сборника ФИПИ школе 36 вариантов. Полный разбор всего варианта (всех заданий).

Важно: В каждом задании во вкладке "видео-решение" видео идет с момента решения конкретного задания, дабы не надо было искать

Аналоги к этому заданию:

Задания 1-5

картинка

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Если лист формата A0 разрезать пополам, получаются два листа формата A1. Если лист A1 разрезать пополам, получаются два листа формата A2 и так далее. При этом отношение длины листа к его ширине у всех форматов, обозначенных буквой A, одно и то же (то есть листы всех форматов подобны друг другу). Это сделано специально — чтобы можно было сохранить пропорции текста на листе при изменении формата бумаги (размер шрифта при этом тоже соответственно изменяется). В таблице 1 даны размеры листов бумаги четырёх форматов: от AЗ до A6.

Порядковые номера Ширина (мм) Длина (мм)
1 148 210
2 210 297
3 105 148
4 297 420

Задание 1.

Для листов бумаги форматов АЗ, А4, А5 и А6 определите, какими порядковыми номерами обозначены их размеры в таблице 1. Заполните таблицу ниже, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр.

Форматы бумаги АЗ А4 А5 А6
Порядковые номера        

Задание 2.

Сколько листов бумаги формата А6 получится при разрезании одного листа бумаги формата А2?

Задание 3.

Найдите длину большей стороны листа бумаги формата А1. Ответ дайте в миллиметрах

Задание 4.

Найдите площадь листа бумаги формата А4. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задание 5.

Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на листе формата А4 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 12 пунктов, на листе формата А5? Размер шрифта округлите до целого.

Ответ: 1) 4213 2) 16 3) 840 4) 623,7 5) 17
Скрыть

Задание 1.

Формат А3 – самый большой по размеру, а формат А6 – самый маленький. Выбираем в таблице по порядку номера, начиная с самого большого и заканчивая самым маленьким, получаем: 4 - А3; 2 – А4; 1 – А5; 3 – А6

Задание 2.

Пусть n – это число уменьшений формата от A2 до Ax. В нашем случае x=6 и, соответственно, n=6-2=4. Тогда число листов бумаги формата А6, получаемое из А2 можно вычислить по формуле листов: $$N=2^{n}=2^{4}=16$$

Задание 3.

Из рисунка видно, что набольшая сторона листа A1 равна двум наибольшим сторонам листа А3, а меньшая сторона А1 – двум меньшим сторонам листа А3. Из таблицы имеем значения размеров для А3, равные 297х420 мм. Тогда, для А1, получаем: 297∙2 х 420∙2 = 594 х 840 мм. И большая сторона имеет длину 840 мм.

Задание 4.

По таблице лист формата А4 имеет размеры 210х297 мм и представляет собой прямоугольник. Переведем миллиметры в сантиметры: 21х29,7 cм. Значит, его площадь, равна: $$S=21\cdot 29,7=623,7$$ cм2

Задание 5.

Большая сторона листа А4 равна 297 мм, а такая же сторона листа А5 – 210 мм, то есть, листа А4 больше листа А5 в $$\frac{297}{210}$$ раз. Следовательно, размер шрифта также нужно увеличить на это значение и взять равным: $$12\cdot \frac{297}{210}\approx 17$$ пунктов.

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Найдите значение выражения: $$\frac{1}{\frac{1}{21}+\frac{1}{28}}$$

Ответ: 12
Скрыть $$\frac{1}{\frac{1}{21}+\frac{1}{28}}=$$$$\frac{1}{\frac{4+3}{3\cdot 4\cdot 7}}=$$$$\frac{1}{\frac{1}{3\cdot 4}}=$$$$\frac{3\cdot 4}{1}=12$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На координатной прямой отмечены числа х, у и z. Какая из разностей y-z, y-x, x-z отрицательна?

картинка

  1. y-z
  2. y-x
  3. x-z
  4. ни одна из них
Ответ: 4
Скрыть

Учтем, что z<x<y из расположения точек на прямой, тогда:

  1. Так как y>z, то y-z >0.
  2. Так как y>x, то y-x >0.
  3. Так как x>z, то x-z >0.

Получаем, что ни одна из разностей не отрицательна, следовательно, 4 вариант ответа

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите значение выражения: $$\frac{2^{-6}\cdot 2^{6}}{2^{-8}}$$

Ответ: 256
Скрыть

По свойству степеней: $$\frac{2^{-6}\cdot 2^{6}}{2^{-8}}=$$$$2^{-6+6-(-8)}=$$$$2^{8}=256$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Решите уравнение: $$x^{2}-35=2x$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Ответ: -5
Скрыть

$$x^{2}-35=2x\Leftrightarrow$$$$x^{2}-2x-35=0$$

По теореме Виета, сумма корней равна 2, произведение -35. Тогда корни будут 7 и -5.

В ответ необходимо указать меньший, то есть -5

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Вероятность того, что новый утюг прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,85. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Ответ: 0,09
Скрыть

Вероятность того, что фен прослужит больше года, равная 0,97, (пусть это будет событие A) равна вероятности того, что он прослужит или больше двух лет (событие B) или больше от 1 года до двух лет (событие C): $$P(A)=P(B)+P(C)$$, учитывая, что события A, B, C независимы между собой.

Отсюда получаем вероятность события C: $$P(C)=P(a)-P(B)=0,97-0,88=0,09$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

На рисунках изображены графики функций вида $$y=ax^{2}+bx+c$$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов а и с.

картинка

  1. a>0, c<0
  2. a<0, c>0
  3. a>0, c>0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ: 312
Скрыть

Если а>0 , то ветви параболы направлены вверх, а<0 - вниз. Если ось Оу пересекается графиком квадратичной функции над осью Ох, то c>0, под осью - с<0. Тогда:

А) a>0, c>0 - 3
Б) a>0, c<0 - 1
В) a<0, c>0 - 2
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

В последовательности чисел первое число равно 2, а каждое следующее больше предыдущего в три раза. Найдите пятое число последовательности.

Ответ: 162
Скрыть Имеем геометрическую прогрессию вида $$b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}$$, при $$b_{1}=2$$, $$q=3$$. Получаем пятый член геометрической прогрессии: $$b_{5}=2\cdot 3^{5-1}=162$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Найдите значение выражения: $$5b+\frac{8a-5b^{2}}{b}$$ при a=8, b=40

Ответ: 1,6
Скрыть Выполним преобразования: $$5b+\frac{8a-5b^{2}}{b}=$$$$\frac{5b^{2}+8a-5b^{2}}{b}=$$$$\frac{8a}{b}=$$$$\frac{8\cdot 8}{40}=1,6$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $$A=I^{2}Rt$$, где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах), t — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите А (в джоулях), если t=10 с, I=4 А и R=2 Ом,

Ответ: 320
Скрыть Вычислим работу силы тока, подставив в формулу числовые значения: $$A=4^{2}\cdot 2\cdot 10=320$$ Дж
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Укажите решение неравенства: $$-3-x<4x+7$$

  1. $$(-\infty;-0,8)$$
  2. $$(-2;+\infty)$$
  3. $$(-\infty;-2)$$
  4. $$(-0,8;+\infty)$$
Ответ: 2
Скрыть $$-3-x<4x+7\Leftrightarrow$$$$-x-4x<7+3\Leftrightarrow$$$$-5x<10\Leftrightarrow$$$$x>-2$$, что соответствует 2 варианту ответа
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=14, AB=20. Найдите $$\sin B$$

Ответ: 0,7
Скрыть Синус угла B равен отношению противолежащего катета AC на гипотенузу AB, имеем: $$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{14}{20}=0,7$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен 108°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 36
Скрыть

Так как АС и BD — диаметры, то дуги AD=BC и AB=CD. Найдем градусную меру дуги AB, на которую опирается вписанный угол ACB. Так как угол AOD = 108°, то градусная мера дуги AD = 108° и тогда градусная мера: 

$$AB=\frac{360^{\circ}-AD-BC}{2}=$$$$\frac{360^{\circ}-2\cdot 108^{\circ}}{2}=72^{\circ}$$

Так как угол ACB является вписанным, то он равен половине градусной меры дуги, на которую опирается, то есть:

$$\angle ACB=\frac{AB}{2}=\frac{72^{\circ}}{2}=36^{\circ}$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Две стороны параллелограмма равны 10 и 12, а один из углов этого параллелограмма равен 30°. Найдите площадь этого параллелограмма.

Ответ: 60
Скрыть Площадь параллелограмма можно найти как половину произведения смежных сторон на синус угла между ними. Учтем, что синус угла в 30 градусов равен $$\frac{1}{2}$$: $$S=\frac{1}{2}10\cdot 12\cdot \frac{1}{2}=60$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его медианы, проведённой из вершины C.

картинка

Ответ: 5
Скрыть Медиана делит угол пополам, потому достаточно провести отрезок в середину AB и найти, сколько клеток составляет проведенный отрезок - 5 клеток
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Какие из следующих утверждений верны?

  1. Если диагонали параллелограмма равны, то он является ромбом.
  2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
  3. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Ответ: 23
Скрыть
  1. Не верно. В этом случае параллелограмм переходит в прямоугольник.
  2.  Верно. Так как сумма всех углов треугольника 180, а прямой угол равен 90 градусов, то на острые углы приходится 180-90=90 градусов.
  3. Верно. Через точку вне прямой можно провести параллельную этой прямой.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Решите уравнение: $$x^{4}=(3x-4)^{2}$$

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 22

Моторная лодка прошла против течения реки 208 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Постройте график функции $$y=x^2-11x-2|x-5|+30$$ и определите при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 24

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках К и N соответственно. Известно, что АВ=9, ВС=12, АС=18, AK=5, CN=9. Найдите длину отрезка КN.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 25

Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка G — середина стороны AD. Докажите, что BG — биссектриса угла ABC.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 26

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 2, а сумма углов при основании AD равна 90. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=24.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 27

Две подруги Оля и Аня задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.

На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из двенадцати отдельных клиньев, натянутых на каркас из двенадцати спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.

Оля и Аня сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 28 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 27 см, а расстояние d между концами спин,, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, — ровно 108 см.

1) Длина зонта в сложенном виде равна 27 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 6,8 см.

2) Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждала Оля, площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите площадь поверхности зонта методом Оли, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 59 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.

3) Аня предположила, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что $$ОС = R$$ (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.

4) Аня нашла площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле $$S = 2\pi Rh$$, где R — радиус сферы, a h — высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Ани. Число $$\pi$$ округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.

5) Рулон ткани имеет длину 20 м и ширину 90 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 15 зонтов, таких же, как зонт, который был у Оли и Ани. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 850 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?

Ответ: 1) 60,6; 2) 9910; 3) 67,5; 4) 11445; 5) 15%
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Длина $$\frac{1}{3}$$ спицы: $$27-6,8=20,2$$ см. Тогда длина всей спицы: $$3\cdot 20,2=60,6$$ см.

2) Площадь одного треугольника: $$S_1=\frac{1}{2}\cdot 28\cdot 59=826$$. Тогда площадь поверхности зонта: $$S_2=12\cdot 826=9912\approx 9910$$ см$$^2$$.

3) Пусть $$OM=x$$; из $$\triangle OLN: OM$$ - высота и медиана $$\to MN=\frac{d}{2}=54$$ см. Из $$\triangle OMN: OM^2+MN^2=ON^2\to x^2+54^2=(x+27)^2\leftrightarrow 54^2=54x+27^2\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow 54x=2916-729\to x=40,5\to R=40,5+27=67,5$$ см.

4) $$S=2\cdot 3,14\cdot 67,5\cdot 27=11445,3\approx 11445$$ см$$^2$$.

5) Количество клиньев: $$15\cdot 12=180$$ шт. Площадь клиньев: $$\frac{180\cdot 850}{100\cdot 100}=15,3$$ м$$^2$$. Площадь рулона: $$20\cdot 0,9=18$$ м$$^2$$. Обрезков: $$18-15,3=2,7$$ м$$^2$$. В процентах $$\frac{2,7}{18}\cdot 100=15%$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 28

Найдите значение выражения $$(\frac{1}{12}-1\frac{2}{15})\cdot 6\frac{2}{3}$$
Ответ: -7
Скрыть

$$(\frac{1}{12}-1\frac{2}{15})\cdot 6\frac{2}{3}=(\frac{1}{12}-\frac{17}{15})\cdot \frac{20}{3}=\frac{5-68}{5\cdot 4\cdot 3}\cdot \frac{20}{3}=-\frac{63}{9}=-7$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 29

Одно из чисел $$\sqrt{29}, \sqrt{34}, \sqrt{39}, \sqrt{45}$$ отмечено на прямой точкой А.

Какое это число?

$$1)\sqrt{29}; 2)\sqrt{34}; 3)\sqrt{39}; 4)\sqrt{45}$$

Ответ: 2
Скрыть $$A\in (5;6)$$ или $$A\in (\sqrt{25};\sqrt{36})$$. Ближе к $$\sqrt{36}\to A=\sqrt{34}$$ (2 вариант ответа).
Аналоги к этому заданию:

Задание 30

Найдите значение выражения $$\frac{(b^{-5})^2}{b^{-12}}$$ при $$b=5$$
Ответ: 25
Скрыть $$\frac{(b^{-5})^2}{b^{-12}}=\frac{b^{-10}}{b^{-12}}=b^{-10-(-12)}=b^2=5^2=25$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 31

Найдите корень уравнения $$(x+2)^2=(1-x)^2$$
Ответ: -0,5
Скрыть

$$(x+2)^2=(1-x)^2$$ из этого получаем 2 уравнения:

1) $$x+2=1-x\to 2x=-1\to x=-0,5$$

2) $$x+2=x-1\to$$ корней нет

Аналоги к этому заданию:

Задание 32

В магазине канцтоваров продаётся 120 ручек: 32 красных, 32 зелёных, 46 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или фиолетовой.

Ответ: 0,65
Скрыть $$P(A)=\frac{32+46}{120}=0,65$$ (кол-во красных и фиолетовых к общему)
Аналоги к этому заданию:

Задание 33

Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и графиками этих функций. которыми заданы функции.

ФОРМУЛЫ

а)$$y=x^2+8x+12$$ б)$$y=x^2-8x+12$$ в)$$y=-x^2+8x-12$$

ГРАФИКИ

Ответ: 123
Скрыть

У 3-го ветви направлены вниз, значит $$a<0 (y=ax^2+bx+c)\to B.$$

Найдем абсциссу вершины для A: $$x_0=-\frac{8}{2}=-4\to$$ 1 график. Тогда 123.

Аналоги к этому заданию:

Задание 34

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с$$^2$$) вычисляется по формуле $$а=\omega ^2R$$, где $$\omega$$ — угловая скорость (в с$$^{-1}$$), R — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 7,5 с$$^{-1}$$, а центростремительное ускорение равно 337,5 м/с$$^2$$. Ответ дайте в метрах.
Ответ: 6
Скрыть Выразим радиус: $$R=\frac{a}{\omega ^2}.$$ Найдем его: $$R=\frac{337,5}{7,5\cdot 7,5}=6$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 35

Укажите решение неравенства $$(x+4)(x-8)>0$$

Ответ: 4
Скрыть $$(x+4)(x-8)>0\to x>8; x<-4 \to$$ 4 вариант ответа.
Аналоги к этому заданию:

Задание 36

В течение 20 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если в 9-й день акция стоила 555 рублей, а в 13-й день — 631 рубль?

Ответ: 764
Скрыть Цена на акцию составляет арифметическую прогрессию: $$d=\frac{a_m-a_n}{m-n}=\frac{631-555}{13-9}=19.$$ $$a_n=a_m+d(n-m)\to a_{20}=631+19(20-13)=631+19\cdot 7=631+133=764.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 37

Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 216
Скрыть $$S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 27=216$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 38

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС - равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 32
Скрыть $$\angle ABC=\frac{\cup ADC}{2}; \angle CAD=\frac{\cup CD}{2}; \angle ABD=\frac{\cup AD}{2}=\frac{\cup ADC}{2}-\frac{\cup CD}{2}=$$ $$=\angle ABC-\angle CAD=92^{\circ}-60^{\circ}=32^{\circ}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 39

Диагональ прямоугольника образует угол $$63^{\circ}$$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 54
Скрыть Пусть $$\angle ABM=63^{\circ}\to \angle BAM=63^{\circ}(BD=AC; BM=\frac{BD}{2}; AM=\frac{AC}{2})\to$$ $$\to \angle BMA=180-2\cdot 63=54^{\circ}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 40

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Ответ: 25
Скрыть $$S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{3+7}{2}\cdot 5=25$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 41

Какие из следующих утверждений верны?

1) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

2) Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.

3) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ: 23
Скрыть

1) нет, перпендикулярна

2) да

3) да (любого треугольника)

Аналоги к этому заданию:

Задание 42

Решите уравнение $$x^6=-(7x+10)^3$$

Ответ: -2; -5
Скрыть

$$x^6=-(7x+10)^3\leftrightarrow x^2=-(7x-10)\leftrightarrow x^2+7x+10=0.$$ Из этого получаем два уравнения:

1) $$x_1+x_2=-7\to x_1=-2$$

2) $$x_1\cdot x_2=10\to x_2=-5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 43

Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Ответ: 14
Скрыть

Пусть x км/ч - скорость второго, тогда $$x+2$$ км/ч - скорость первого. Получим: $$\frac{224}{x}-\frac{222}{x+2}=2\leftrightarrow 112(x+2)-112x=1(x^2+2x)\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow 112x+224-112x=x^2+2x\leftrightarrow x^2+2x-224=0$$

Решаем по теореме Виета:

1) $$x_1+x_2=-2\to x_1=-16<0$$

2) $$x_1x_2=-224\to x_2=14$$ - ответ.

Аналоги к этому заданию:

Задание 44

Постройте график функции $$y=x^2-3|x|-x$$ и определите, при каких значениях m прямая $$y=m$$ имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Ответ: $$m\in[-4;-1]\cup[0;+\infty)$$
Скрыть

$$y=x^2-3|x|-x$$ получаем уравнения:

1) $$y=x^2-3x-x, x\geq 0 \to y=x^2-4x, x\geq 0 (1)$$

2) $$y=x^2+3x-x, x<0 \to y=x^2+2x, x<0 (2)$$

(1) $$x_0=-\frac{-4}{2}=2; y_0=2^2-4\cdot 2=-4.$$ Нули функции: $$x^2-4x=0\to x_1=0; x_2=4.$$

(2) $$x_0=-\frac{2}{2}=-1; y_0=(-1)^2+2(-1)=-1.$$ Нули функции: $$x^2+2x=0\to x_1=0; x_2=-2.$$

Построим график функции: $$y=m$$ - прямая, параллельная Ox от одной до трех точек пересечения имеет при $$m\in[-4;-1]\cup[0;+\infty)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 45

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 6:11:19. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 15.

Ответ: 15
Скрыть

1) Углы A,B,C - вписанные, потому равны половинам соответствующих дуг, потому отношение углов 6:11:29.

2) Т.к. $$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ},$$ если $$\angle A=6x,$$ то: $$6x+11x+29x=180^{\circ}\to x=5\to \angle A=30^{\circ}.$$

3) Напротив меньшей стороны лежит меньший угол $$\to BC=15.  R=\frac{a}{2\sin{\alpha}}=\frac{BC}{2\sin{A}}=\frac{15}{2\cdot \frac{1}{2}}=15$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 46

Основание BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 75, $$AC=30$$. Докажите, что треугольники CBA и ACD подобны.

Ответ:
Скрыть Найдем отношение сторон в $$\triangle ABC$$ к $$\triangle CAD$$: $$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}.$$ При этом $$\angle BCA=\angle CAD$$ (накрест лежащие при $$BC\parallel AD$$) $$\to$$ по отношению 2-х сторон и равенству углов м/у ними $$\triangle ABC\approx \triangle CAD.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 47

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=4:9. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади четырехугольника KPCM.

Ответ: $$\frac{11}{15}$$
Скрыть

1) Пусть $$S_{ABC}=S\to S_{ABM}=S_{BMC}=\frac{S}{2}.$$

2) $$\frac{S_{ABK}}{S_{AKM}}=\frac{BK}{KM}=\frac{4}{9}\to S_{AKM}=\frac{9}{13}S_{ABM}\frac{9}{13}\cdot \frac{S}{2}=\frac{9S}{26}.$$

3) Пусть $$ML\parallel AP\to ML$$ - средняя линия $$\triangle APL$$ и $$PL=LC.$$ Но $$KP\parallel ML\to \frac{BK}{KM}=\frac{BP}{PL}=\frac{4}{9},$$ тогда $$\frac{BP}{PC}=\frac{4}{18}.$$

4) $$\frac{S_{APC}}{S_{ABC}}=\frac{PC}{BC}=\frac{18}{22}\to S_{APC}=\frac{9}{11}S\to S_{KPOM}=S_{APC}-S_{AKM}=\frac{9S}{11}-\frac{9S}{26}=$$ $$=\frac{9S(26-11)}{26\cdot 11}=\frac{15\cdot 9S}{26\cdot 11}\to \frac{S_{AKM}}{S_{KPCM}}=\frac{9}{26}\cdot \frac{26\cdot 11}{15\cdot 9}=\frac{11}{15}.$$