ОГЭ
Задание 6168
Точки K, L, M, N, P расположены последовательно на окружности радиуса $$2\sqrt{2}$$ . Найдите площадь треугольника KLM, если LM || KN, KM || NP, MN || LP, а угол LOM равен 45, где О – точка пересечения хорд LN и MP
1) $$LM\left | \right | KN\Rightarrow \angle LMK=\angle MKN$$(накрест лежащие)$$\Rightarrow \cup LK=\cup MN$$(вписанные углы равны)
$$MK \left | \right |NP\Rightarrow \angle MKN=\angle KNP\Rightarrow \cup KP=\cup MN=\cup LK.$$
$$LP\left | \right | MN\Rightarrow \angle LPM=\angle PMN\Rightarrow \cup LM=\cup NP.$$
2)Пусть $$\cup KL=\alpha$$ и $$\cup LM=\beta .$$
$$\angle LOM=\angle NOP$$(вертикальные) ,но т.к.
$$\cup LM=\cup NP$$, то $$\angle LOM-\frac{\cup LM+\cup PN}{2}=\beta =45$$
3)$$\Delta LPK : LK=2R \sin LPK= 2R \sin 45$$
$$\Delta LPM: LM=2R \sin LPM =2R \sin 22,5$$
$$S_{\Delta LKM}=\frac{1}{2} *LK*LM* \sin KLM=$$$$\frac{1}{2} *2R \sin 22,5 * \sin (90+22,5)=$$$$2R^{2}* \sin 22,5 * \cos 22,,5 * \sin 45=R^{2}* \sin^{2} 45=4$$
Задание 7620
Окружность касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках А и В соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка К так, что расстояния от неё до продолжений сторон АС и ВС равны 39 и 156 соответственно. Найдите расстояние от точки К до прямой АВ.
Задание 7859
На катете ML прямоугольного треугольника KLM как на диаметре построена окружность. Она пересекает сторону KL в точке P. На стороне KM взята точка R так, что отрезок LR пересекает окружность в точке Q, причём отрезки QP и ML параллельны, KR=2RM и $$ML=8\sqrt{3}$$ . Найдите MQ
Пусть $$MR=x$$ $$\Rightarrow$$ $$RK=2x$$
1) $$MP\perp LK$$ ($$\angle LDM$$ - центральный и опирается на диаметр) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup LPM\sim\bigtriangleup LMK$$
2) Аналогично $$\bigtriangleup LQM\sim\bigtriangleup LRM$$
3) $$LM\parallel PQ$$ $$\Rightarrow$$ $$LPQM$$ - трапеция вписанная $$\Rightarrow$$ $$\angle L+\angle Q=180^{\circ}$$; но $$\angle P+\angle Q=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle P=\angle Q$$ $$\Rightarrow$$ трапеция равнобедренная $$\Rightarrow$$ $$LP=MQ$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup LPM=\bigtriangleup LMQ$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup LRM\sim\bigtriangleup LKM$$
4) из подобия : $$\frac{LM}{MK}=\frac{MR}{LM}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{8\sqrt{3}}{3x}=\frac{x}{8\sqrt{3}}$$ $$\Rightarrow$$ $$3x^{2}=64\cdot3$$ $$\Rightarrow$$ $$x^{2}=64$$ $$\Rightarrow$$ $$x=8$$ $$\Rightarrow$$ $$LR=\sqrt{(8\sqrt{3})^{2}+8^{2}}=16$$ $$\Rightarrow$$ $$MQ=\frac{8\sqrt{3}\cdot8}{16}=4\sqrt{3}$$
Задание 8427
Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник ACP, равен 12, тангенс угла ABC равен 2,4. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC .
1) $$\tan ABC=\frac{AC}{BC}=2,4=\frac{12}{5}$$. Пусть $$AC=12x$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=5x$$. По т. Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=13x$$
2) $$\bigtriangleup CPA\sim\bigtriangleup ABC$$ (прямоугольные с общим сотрым углом) $$\Rightarrow$$ $$\frac{O_{1}L}{OK}=\frac{AC}{AB}=\frac{12x}{13x}=\frac{12}{13}$$ $$\Rightarrow$$ $$OK=\frac{O_{1}L\cdot13}{12}=\frac{12\cdot13}{12}=13$$
