Окружности

По условию задачи BO:OH=5:4, следовательно, OH:BO=4:5. По свойству биссектрисы AH:AB=HO:BO=4:5,  но AH:AB – это косинус угла A, то есть $$\cos\angle A=\frac{4}{5}.$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB, в котором условно катет AH=4, а гипотенуза AB=5. По теореме Пифагора находим

$$BH=\sqrt{25-16}=3$$.

Тогда синус угла A равен $$\sin\angle A=\frac{3}{5}.$$ По следствию теоремы синусов имеем:

$$\frac{BC}{\sin A}=2R,$$

где R – радиус описанной окружности. Следовательно,

$$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{12}{2\cdot0,6}=10.$$

Из условия касания окружностей находим стороны треугольника $$O_1O_2O_3$$:

$$O_1O_2=3, O_2O_3=5, O_1O_3=7.$$

По теореме косинусов:

$$O_1O_3^2=O_1O_2^2+O_2O_3^2-2O_1O_2\cdot O_2O_3\cdot\cos\angle O_1O_2O_3$$

$$49=9+25-30\cos\angle O_1O_2O_3$$

Откуда $$\cos\angle O_1O_2O_3=-\frac{1}{2}; \angle O_1O_2O_3=120^{\circ}$$

Пусть O - центр данной окружности, а Q - центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Точка касания M окружностей делит AC пополам.

Лучи AQ и AO - биссектрисы смежных углов, значит, угол OAQ прямой.

Из прямоугольного треугольника OAQ получаем:

$$AM^2=MQ\cdot MO$$

Тогда $$QM=\frac{AM^2}{OM}=\frac{9}{2}=4,5$$

Из условия касания окружностей находим стороны треугольника $$O_1O_2O_3$$

$$O_1O_2=3, O_2O_3=5, O_1O_3=7$$

По теореме косинусов

$$O_1O_3^2=O_1O_2^2+O_2O_3^2-2O_1O_2\cdot O_2O_3\cdot\cos\angle O_1O_2O_3$$

$$49=9+25-30\cos\angle O_1O_2O_3$$

Откуда $$\cos\angle O_1O_2O_3=-\frac{1}{2}; \angle O_1O_2O_3=120^{\circ}$$.