ОГЭ
Задание 15757
BC = 8AB = 24
CD = 26 EF средняя линия. ∆EFD равнобедренный (∠1=∠2 по условию, ∠3=∠2 как накрест лежащие ⇒ ∠1=∠3)
EF = FD = CD/2 = 26 / 2 = 13 AD = 2 EF - BC = 26 - 8 18 Предположим, что AB ⊥ AD
CH² = 26² - (18 - 8)² = 676 - 100 576 = AB² ⇒ CH = AB
Предположение верно ⇒ Высота трапеции h = AB
$$S = \frac{AD + BC)}{2}\cdot h=\frac{18+8}{2}\cdot24=312$$
Задание 15994
Окружность вписана в треугольник ABC с радиусами $$OM=ON=OP$$ и перпендикулярными сторонам AB, BC, AC соответственно. По теореме об отрезках касательных, имеем:
$$MB=BN, AM=AP, CN=CP$$.
Пусть $$BM=BN=x$$, а $$CN=CP=y$$. Тогда $$BC=AD=x+y$$. Отрезок $$NN_1=AH=8+6=14$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник AMO. По теореме Пифагора найдем сторону AM:
$$AM=\sqrt{AO^2-OM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$$
Значит, $$AP=AM=8$$. Найдем величину $$x+y$$ из формулы площади треугольника ABC:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}(x+y)\cdot14$$
Эту же площадь можно вычислить как
$$S_{ABC}=p\cdot r$$,
где $$p=\frac{1}{2}\cdot(AB+BC+AC)=8+x+y$$ - полупериметр треугольника ABC; $$r=6$$ – радиус вписанной окружности. Приравниваем площади, получаем уравнение:
$$7\cdot(x+y)=(x+y+8)\cdot6$$
$$7(x+y)-6(x+y)=48$$
$$x+y=48$$
Значит, $$BC=AD=48$$ и площадь параллелограмма, равна:
$$S_{ABCD}=AD\cdot H=48\cdot14=672$$
Задание 17110
В треугольнике $$A B C$$ биссектриса $$B E$$ и медиана $$A D$$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24 . Найдите стороны треугольника $$A B C$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!