ОГЭ
Задание 13928
В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Точка F принадлежит отрезку АС. Известно, что ВО=19, DO=16, АС=24. Найдите AF, если площадь треугольника FCD в три раза меньше площади четырёхугольника ABCD.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 14982
Введём обозначения, как показано на рисунке. Поскольку HG||AC и HE||BD, получаем, что HKOL — параллелограмм, следовательно, углы KHL и KOL равны. Рассмотрим треугольники ABC и EBF, угол EBF — общий, углы BEF и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, углы BFE и BCA — аналогично, следовательно, треугольники ABC и BEF подобны по двум углам. Откуда $$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{AB}.$$ Аналогично подобны треугольники ABD и AEH, откуда $$\frac{HE}{BD}=\frac{AE}{AB}.$$ Пусть сторона ромба равна a, а длина короткой диагонали равна d. Сложим два полученных уравнения:
$$\frac{EF}{AC}+\frac{HE}{BD}=\frac{AE}{AB}+\frac{BE}{AB}\Leftrightarrow\frac{a}{d}+\frac{a}{9d}=\frac{AE+EB}{AB}\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\frac{9a+a}{9d}=\frac{AB}{AB}\Leftrightarrow9d=10a\Leftrightarrow a=\frac{9d}{10}$$
Площадь ромба можно найти как произведение сторон на синус угла между ними: $$S_{HEFG}=a^2\sin\angle KHL.$$ Площадь параллелограмма можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними: $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot\sin\angle KOL=\frac{1}{2}\cdot9d\cdot\sin\angle KOL.$$ Найдём отношение площадей ромба и параллелограмма:
$$\frac{S_{HEFG}}{S_{ABCD}}=\frac{a^2\sin\angle KHL}{\frac{1}{2}\cdot d\cdot 9d\cdot\sin\angle KOL}=\frac{a^2}{4,5d^2}=\frac{d^2\cdot\frac{9^2}{10^2}}{4,5d^2}=\frac{9}{50}=0,18$$