ОГЭ
Задание 7254
В треугольнике ABC биссектрисы AD и BE пересекаются в точке О. Найдите отношение площади четырехугольника DOEC к площади треугольника ABC, если AC:AB:BC = 4:3:2.
1) Пусть $$AC=4x; AB=3x;BC=2x$$.
2) По свойству биссектрисы $$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4}\Rightarrow$$ $$BD=\frac{3}{7}BC=\frac{6x}{7}$$; $$DC=\frac{4}{7}BC=\frac{8x}{7}$$. Аналогично, $$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$ $$AE=\frac{3}{5}AC=\frac{12x}{5}$$; $$EC=\frac{2}{5}AC=\frac{8x}{5}$$
3) Пусть $$EH\left | \right |OD\Rightarrow$$ по т. Фалеса : $$\frac{AE}{EC}=\frac{DH}{HC}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$ $$DH=\frac{3}{5} DC=\frac{24x}{35}$$$$\Rightarrow$$ $$BH=\frac{54x}{35}$$
4)Пусть $$S_{ABCD}=S$$ $$\Rightarrow$$ при этом $$S_{BEC}=\frac{EC}{AC}S=\frac{2}{5}S$$; $$S_{BEH}=\frac{BH}{BC}S_{BEC}=$$$$\frac{54}{70}*\frac{2}{5}S=\frac{54S}{175}$$
5) т.к. $$OD\left | \right |EH$$, то $$\frac{S_{OBD}}{S_{BEH}}=(\frac{BD}{BH})^{2}=\frac{25}{81}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{2 S}{3*7}=\frac{2S}{21}\Rightarrow$$ $$S_{DOEC}=S_{BEC}-S_{OBD}=$$$$\frac{2}{5}S-\frac{2S}{21}=\frac{32 S}{105}\Rightarrow$$$$ \frac{S_{DOEC}}{S_{ABC}}=\frac{32}{105}$$
Задание 8975
Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны $$2\sqrt{5}$$, $$\sqrt{13}$$, 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает отрезок AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами A, K, C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если известно, что $$\angle KAC=90$$.
Задание 10985
В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что $$ВК : КМ = 6 : 7$$. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АВК.
1)$$S_{ABM}=\frac{S_{ABC}}{2}=0,5S$$ (тогда BM - медиана)
2)$$\frac{S_{ABK}}{S_{AKM}}=\frac{BK}{KM}=\frac{6}{7}$$ (общая вершина) $$\to S_{ABK}=\frac{6}{13}S_{ABM}=\frac{3S}{13}.$$
3) Пусть $$ML\parallel KP\to \frac{BP}{PL}=\frac{BK}{KM}=\frac{6}{7}$$. Но $$\frac{PL}{LC}=\frac{AM}{MC}=\frac{1}{1}\to BP:PL:LC=6:7:7$$. Тогда $$\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}}=\frac{BP}{BC}=\frac{6}{20}\to S_{ABP}=\frac{3}{10}S;$$ $$S_{BKP}=\frac{3S}{10}-\frac{3S}{13}=\frac{(39-30)S}{130}=\frac{9S}{130}\to \frac{S_{BKP}}{S_{ABK}}=\frac{9S}{130}\cdot \frac{13}{3S}=\frac{3}{10}$$
Задание 11047
В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=4:9. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади четырехугольника KPCM.
1) Пусть $$S_{ABC}=S\to S_{ABM}=S_{BMC}=\frac{S}{2}.$$
2) $$\frac{S_{ABK}}{S_{AKM}}=\frac{BK}{KM}=\frac{4}{9}\to S_{AKM}=\frac{9}{13}S_{ABM}\frac{9}{13}\cdot \frac{S}{2}=\frac{9S}{26}.$$
3) Пусть $$ML\parallel AP\to ML$$ - средняя линия $$\triangle APL$$ и $$PL=LC.$$ Но $$KP\parallel ML\to \frac{BK}{KM}=\frac{BP}{PL}=\frac{4}{9},$$ тогда $$\frac{BP}{PC}=\frac{4}{18}.$$
4) $$\frac{S_{APC}}{S_{ABC}}=\frac{PC}{BC}=\frac{18}{22}\to S_{APC}=\frac{9}{11}S\to S_{KPOM}=S_{APC}-S_{AKM}=\frac{9S}{11}-\frac{9S}{26}=$$ $$=\frac{9S(26-11)}{26\cdot 11}=\frac{15\cdot 9S}{26\cdot 11}\to \frac{S_{AKM}}{S_{KPCM}}=\frac{9}{26}\cdot \frac{26\cdot 11}{15\cdot 9}=\frac{11}{15}.$$