Окружности и их элементы

Окружности с центрами в точках Р и Q пересекаются в точках К и L, причём точки Р и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что $$PQ\perp KL$$.

Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении n:m. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как n:m.

Окружности с центрами в точках О и Q не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $$a:b$$. Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как $$a:b$$.

В окружности через середину O хорды BD проведена хорда AC так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды AC.

Окружности с центрами в точках $$P$$ и $$Q$$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $$m:n$$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $$m:n$$.

Окружности с центрами в точках $$R$$ и $$S$$ не имеют общих точек, ни одна из них не лежит внутри другой, а их радиусы относятся как $$c:d$$. Докажите, что внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $$c:d$$.

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.

В трапеции $$MNPK$$ с основаниями $$NP$$ и $$MK$$ диагонали пересекаются в точке $$F$$. Докажите, что площади треугольников $$MNF$$ и $$PKF$$ равны.

Окружности с центрами в точках $$I$$ и $$J$$ пересекаются в точках $$A$$ и $$B$$, причём точки $$I$$ и $$J$$ лежат по одну сторону от прямой $$AB$$. Докажите, что прямые $$AB$$ и $$IJ$$ перпендикулярны.