Окружности и их элементы

В окружности через середину O хорды BD проведена хорда AC так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O – середина хорды AC .

Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Окружности с центрами E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD перпендикулярна EF .

Окружности с центрами в точках О и Q не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении а:b. Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как а:b.

В окружности с центром проведены две равные хорды O KL и MN . На эти хорды опущены перпендикуляры OH и OS . Докажите, что OH и равны.

Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD$$\perp$$EF.

Окружности с центрами в точках Р и Q пересекаются в точках К и L, причём точки Р и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что PQ$$\perp$$KL .

Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m : n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m : n.

Окружности с центрами в точках О и Q не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении а : b. Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как а : b.

В окружности через середину O хорды проведена хорда BD и AC так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O  — середина хорды AC .

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что $$AB\perp IJ$$.

Два круга с центрами в точках P и Q не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к окружностям, ограничивающим эти круги, делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $$a:b$$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $$a:b$$.

Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D – на второй. При этом AC и BD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что $$CD\perp EF$$.