Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C3) Функции и их свойства. Графики функций

Параболы

 

Задание 14177

Постройте график функции $$y=|x|x+|x|-3x$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: -1;4
 

Задание 14199

Постройте график функции $$y=|x|x+3|x|-5x$$ и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: -1;16
 

Задание 14705

Построите график функции $$y=\frac{(0,75x^2-1,5x)\cdot |x|}{x-2}$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: 3
 

Задание 14743

Построите график функции $$y=\frac{(0,5x^2-2x)\cdot |x|}{x-4}$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: 8

Задание 14861

При каких значениях $$p$$ вершины парабол $$y=x^2+4px-1$$ и $$y=-x^2+6px-p$$ расположены по разные стороны от оси $$x?$$
Ответ: $$(-\infty;0),(\frac{1}{9};\infty)$$
Скрыть

Координата $$x$$ вершины параболы определяется по формуле $$x_n=-\frac{b}{2a}.$$ Координата $$y_в$$ вершины находится подстановкой $$x_в$$ в уравнение параболы. Вершины парабол будут находится по разные стороны от оси $$x,$$ если координаты их вершин имеют разные знаки. Вспомнив, что два сомножителя имеют разный знак тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно, составим и решим неравенство:

$$(4p^2-8p^2-1)(-9p^2+18p^2-p)<0\Leftrightarrow(-4p^2-1)(9p^2-p)<0$$

Заметим, что первый множитель всегда меньше нуля, поэтому на него можно разделить.

$$9p(p-\frac{1}{9})>0\Leftrightarrow p(p-\frac{1}{9})>0$$

Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если сомножители имеют одинаковый знак (см. рис.). Таким образом, получаем ответ:

$$\left[\begin{matrix} p<0\\ p>\frac{1}{9} \end{matrix}\right.$$

Задание 15289

При каких значениях $$a$$ вершины парабол $$y=x^2-4ax+а$$ и $$y=-x^2+8ax+4$$ расположены по одну сторону от оси $$x?$$
Ответ: $$(0;\frac{1}{4})$$
Скрыть

Для первой $$x_{0_1}=-\frac{-4a}{2}=2a,$$ для второй $$x_{0_2}=-\frac{8a}{-2}=4a$$

$$f(x_{0_1})=(2a)^2-4a\cdot2a+a=-4a^2+a$$

$$f(x_{0_2})=-(4a)^2+8a\cdot4a+4=16a^2+4$$

$$\left\{\begin{matrix} -4a^2+a>0\\ 16a^2+4>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -4a(a-\frac{1}{4})>0\\ a\in R \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a(a-\frac{1}{4})<0\\ a\in R \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a\in(0;\frac{1}{4})$$

Вариант, когда оба отрицательные, не имеет решений.

 

Задание 15576

Постройте график функции $$y=x^2-4|x|-x$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Ответ: $$[-6,25;-2,25];[0;+\infty)$$
 

Задание 15596

Постройте график функции $$y=x^2-3|x|-x$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком не менее двух, но не более трёх общих точек.

Ответ: $$(-4;-1];[0;+\infty)$$
 

Задание 16688

Постройте график функции $$y=x^2-|4x+7|$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ: $$3; \frac{49}{16}$$
 

Задание 16841

Постройте график функции $$y=4|x+2|-x^{2}-3x-2$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ: 0; 2,25
 

Задание 16862

Постройте график функции $$y=2|x-5|-x^{2}+11x-30$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ: 0; 0,25
 

Задание 16883

Построите график функции $$y=\frac{(x^{2}+x-6)(x^{2}-2x-3)}{x^{2}-9}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Ответ: -2,25; 4; 10
 

Задание 16904

Постройте график функции $$y=\frac{(x^{2}-4)(x^{2}-4x+3)}{x^{2}-3x+2}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Ответ: -6,25; -6; -4
 

Задание 16929

Постройте график функции $$y=x^2-4|x|-x$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Ответ: $$[-6,25;-2,25],[0;+\infty)$$
 

Задание 16950

Постройте график функции $$y=x^2-3|x|-x$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Ответ: $$[-4;-1],[0;+\infty)$$