ОГЭ
Задание 14861
Координата $$x$$ вершины параболы определяется по формуле $$x_n=-\frac{b}{2a}.$$ Координата $$y_в$$ вершины находится подстановкой $$x_в$$ в уравнение параболы. Вершины парабол будут находится по разные стороны от оси $$x,$$ если координаты их вершин имеют разные знаки. Вспомнив, что два сомножителя имеют разный знак тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно, составим и решим неравенство:
$$(4p^2-8p^2-1)(-9p^2+18p^2-p)<0\Leftrightarrow(-4p^2-1)(9p^2-p)<0$$
Заметим, что первый множитель всегда меньше нуля, поэтому на него можно разделить.
$$9p(p-\frac{1}{9})>0\Leftrightarrow p(p-\frac{1}{9})>0$$
Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если сомножители имеют одинаковый знак (см. рис.). Таким образом, получаем ответ:
$$\left[\begin{matrix} p<0\\ p>\frac{1}{9} \end{matrix}\right.$$
Задание 15289
Для первой $$x_{0_1}=-\frac{-4a}{2}=2a,$$ для второй $$x_{0_2}=-\frac{8a}{-2}=4a$$
$$f(x_{0_1})=(2a)^2-4a\cdot2a+a=-4a^2+a$$
$$f(x_{0_2})=-(4a)^2+8a\cdot4a+4=16a^2+4$$
$$\left\{\begin{matrix} -4a^2+a>0\\ 16a^2+4>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -4a(a-\frac{1}{4})>0\\ a\in R \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a(a-\frac{1}{4})<0\\ a\in R \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a\in(0;\frac{1}{4})$$
Вариант, когда оба отрицательные, не имеет решений.