Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C3) Функции и их свойства. Графики функций

Параболы

Задание 5512

Найдите все значения а, при которых неравенство $$x^{2}+(2a+4)x+8x+1\leq 0$$ не имеет решений.

Ответ:

Задание 5641

Постройте график функции $$y=\frac{(x^{2}+2,25)(x-1)}{1-x}$$. Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Задание 6117

Известно, что графики функций y=x2 +p и y=4x−3 имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат

Ответ: (2;5)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
  1. Так как графики имеют одну точку пересечения, то уравнение : $$x^{2}-p=4x-3$$ должно иметь один корень, то есть дискриминант равен 0:
  2. $$x^{2}-4x+p+3=0$$ $$D=16-4(p+3)=16-4p+12=4-4p=0$$
  3. Тогда $$p=1$$.
  4. Найдем абсциссу точки пересечения: $$x_{0}=-\frac{-4}{2}=2$$.
  5. Найдем ординату (подставим в линейное уравнение): $$y=4*2-3=5$$. То есть точка пересечения будет с координатами (2;5).
  6. Построим графики функций:

Задание 6308

Постройте график функции $$y=|x^{2}-4x-2|$$ и определите, при каких значениях с прямая $$y=c$$ имеет с графиком три общие точки.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Данный график есть парабола $$y=x^{2}-4x-2$$, у которой часть ,которая располагается по Ox отображается симметрично Ox.

     Найдем вершину параболы: $$x_{0}=-\frac{-4}{2}=2$$ $$y_{0}=\left | 4-8-2 \right |=6$$

    $$y=c$$ - параллельна Ox, тогда при точки при y=6 , то есть c=6

Задание 6355

При каких значениях р вершины парабол $$y=x^{2}-6px+p$$ и $$y=-x^{2}+2px+3$$ расположены по одну сторону от оси х?

Ответ: $$(0 ;\frac{1}{9})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Вершина $$y=x^{2}-6px+p$$: $$x_{01}=-\frac{6p}{2}=3p$$, $$y_{01}=9p^{2}-18p^{2}+p=p-9p^{2}$$

     Вершина $$y=-x^{2}+2px+3$$: $$x_{02}=-\frac{2p}{-2}=p$$, $$y_{02}=-p^{2}+2p^{2}+3=p^{2}+3$$

     По одну сторону от OX:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y_{01}>0\\y_{02}>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y_{01}<0\\y_{02}<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}>0 \\p^{2}+3>0 \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}<0 \\p^{2}+3<0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}>0 \\p \in R \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}<0 \\p \in \varnothing \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$p(1-9p)>0\Leftrightarrow$$ $$p\in (0 ;\frac{1}{9})$$

Задание 6402

Постройте график функции $$y=x^{2}-4|x+1|$$ и определите, при каких значениях a прямая $$y=a$$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: 0;1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Расмотрим подмодульное выражение:

При $$x+1\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x\geq -1 \Rightarrow y=x^{2}-4x-4(1)$$

При $$x+1<0\Leftrightarrow$$ $$-x<-1 \Rightarrow y=x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}(2)$$

     (1): Найдём вершину: $$x_{0}=-\frac{-4}{2}=2\Rightarrow$$ $$y_{0}=2^{2}-4*2-4=-8$$

Построим график данной функции (с учетом ограничения по х):

     Построим график функции (2) с учетом ограничения по х:

     В итоге получаем, что три точке пересечения прямая $$y=a$$с графиком функции будет иметь при $$a=0,a=1$$

Задание 6504

Постройте график функции $$y=|x|x-|x|-6x$$ и определите, при каких значениях а прямая y = а имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: 6,25 ; -12,25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Раскроем модули $$y=\left\{\begin{matrix}x^{2}-7x, x\geq 0(1)\\-x^{2}-5x, x<0(2)\end{matrix}\right.$$

(1) Найдем вершину : $$x_{0}=-\frac{07}{2}=3,5$$, $$y_{x_{0}}=3,5^{2}-7*3,5=12,25-24,5=-12,25$$

(2) $$x_{0}=-\frac{-5}{-2}=-2,5$$, $$y(x_{0})=-(-2,5)^{2}-5(-2,5)=6,25$$

     Построим график функции. 

     С учетом графика видно, что две точки пересечения будут только в том случае, когда прямая пройдет через одну из вершин парабол. Тогда: a=6,25 и a=-12,25

Задание 6954

Постройте график функции $$y=1-\frac{2x^{4}-x^{3}}{2x^{2}-x}$$ и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: $$(-\infty;0,75)\cup (0,75; 1)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=1-\frac{2x^{4}-x^{3}}{2x^{2}-x}=1-\frac{x^{3}(2x-1)}{x(2x-1)}$$$$\Rightarrow$$ $$y=\left\{\begin{matrix}1-x^{2}\\x\neq 0\\2x-1\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$y=\left\{\begin{matrix}1-x^{2}\\x \neq 0\\x\neq 0,5\end{matrix}\right.$$

Построим график данной функции (не забудем отметить пустыми точка (A и B) имеющиеся ограничения:

Видим, что прямая всегда будет пересекать в двух точках параболы (на области значений параболы) кроме тех случаев, когда она пройдет через точку А или В: $$m \in (-\infty;0,75)\cup (0,75; 1)$$

Задание 7002

Постройте график функции $$y=\left | x^{2}-6\left | x \right |+4 \right |-2$$ и определите, при каких значениях m прямая у=m имеет с графиком наибольшее число общих точек..

Ответ: $$(-2;2)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Расскроем первый модуль:

   1) При $$x\geq 0$$ : $$y=\left | x^{2}-6x+4 \right |-2$$

Рассмотрим подмодульное выражение: $$x^{2}-6x+4=0$$: $$D=36-16=20\Rightarrow$$ $$x_{1}, x_{2}=\frac{6 \pm \sqrt{20}}{2}=3 \pm \sqrt{5}$$

  • тогда при $$x \in [0;3-\sqrt{5}]\cup [3+\sqrt{5}; +\infty )$$: $$y=x^{2}-6x+4-2=x^{2}-6x+2(1)$$
  • при $$x \in (3-\sqrt{5}; 3+\sqrt{5})$$: $$y=-x^{2}+6x-6(2)$$

     2) При $$x<0$$ имеем $$y=\left | x^{2}+6x+4\right |-2$$

Рассмотрим подмодульное выражение : $$x^{2}+6x+4=0\Leftrightarrow$$ $$x_{1,2}=-3\pm \sqrt{5}$$

  • тогда при $$x \in (-\infty ; -3-\sqrt{5}]\cup [-3+\sqrt{5};0)$$ имеем: $$y=x^{2}+6x+4+2=x^{2}+6x-2(3)$$
  • при $$x \in (-3-\sqrt{5}; -3+\sqrt{5}):$$ $$y=-x^{2}-6x-6(4)$$

Построим график функции

Видим, что наибольшее количество пересечений (8) будет при $$m \in (-2;2)$$

Задание 7162

Постройте график функции $$y=x^2-5|x|-x$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Ответ: $$[-9 ;-4] \cup (0 ;+\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Раскроем модули : $$y=\left\{\begin{matrix}x^{2}-5x-x=x^{2}-6x, x\geq 0(1)\\x^{2}+5x-x=x^{2}+4x, x<0 (2)\end{matrix}\right.$$

     (1): Найдем вершину параболы: $$x_{0}=-\frac{-6}{2}=3\Rightarrow$$ $$y_{0}=3^{2}-6*3=-9$$

     (2): $$x_{0}=-\frac{4}{2}=-2\Rightarrow$$ $$y_{0}=(-2)^{2}+4(-2)=-4$$

     Необходимо найти все а , при которых будет от 1 до 3 общих точек: $$a \in [-9 ;-4] \cup (0 ;+\infty )$$

Задание 7249

Постройте график функции $$y=|x^{2}-4|x|+3|$$ и определите, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс.

Ответ: $$(0 ;1)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Рассмотрим модули: $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y=\left | x^{2}-4x+3 \right |(1)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x<0\\y=\left | x^{2}+4x+3 \right |(2)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

     Учтем, что парабола $$y=\left | ax^{2}+bx+c \right |$$ строится аналогично $$y=ax^{2}+bx+c$$ с учетом, что та часть параболы, которая была под Ox отображается симметрично относительно Ox. Найдем вершины параболы для (1) и (2)

     (1) : $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2\Rightarrow$$ $$y_{0}=\left | 2^{2}-4*2+3 \right |=\left | -1 \right |=1$$

     (2) : $$x_{0}=-\frac{4}{2}=-2\Rightarrow$$ $$y_{0}=\left | (-2)^{2}+4(-2)+3 \right |=1$$

     Построим график:

     Наибольшее количество точек равно 8 при $$a \in (0 ;1)$$ (для прямой y=a)

Задание 7310

Постройте график функции y=x|x|+|x|−6x и определите, при каких значениях а прямая y=а имеет с графиком более двух общих точек.

Ответ: (-6,25;12,25)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7470

Постройте график функции $$y=x^{2}-5x+10-3|x-2|$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а+3 будет иметь с графиком три общие точки.

Ответ: 0;1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   Расскароем модуль: 

   $$\left\{\begin{matrix}x-2\geq 0\Rightarrow y=x^{2}+5x+10-3x+6\\x-2< 0\Rightarrow y=x^{2}+5x+10+3x-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}y=x^{2}-8x+16=(x-4)^{2},x\geq 0(1)\\y=x^{2}-2x+4, x<0(2)\end{matrix}\right.$$

   В случае (1) дана парабола, ветви которой направлены вниз, получается она путем сдвига параболы вида $$y=x^{2}$$ на 4 единицы вправо по Ох.

   В случае (2): найдем вершину: $$x_{0}=-\frac{-2}{2}=1$$, тогда $$y_{0}=1^{2}-2*1+4=3$$

   Начертим оба графика:

   Видим, что прямая $$y=a+3$$ будет иметь с графиком три общие точки в том случае, когда $$a+3=4\Leftrightarrow a=1$$ и $$a+3=3\Leftrightarrow a=0$$

Задание 7496

Постройте график функции $$y=\frac{(x^{2}+2x)|x|}{x+2}$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: -4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7713

Постройте график функции $$y=x^{2}-4|x|-x$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Ответ: $$[-6,25;-2,25];[0;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!