ОГЭ
Задание 6448
Моторная лодка спускается вниз по реке от А до В за 6 часов, причем собственная скорость лодки в три раза больше скорости течения реки. За какое время лодка поднимется вверх по реке от В до А.
Пусть x - собственная скорость лодки (в частях расстояния в час), y - течения . Пусть расстояние равно 1. Тогда : $$\frac{1}{x+y}=6$$
При этом $$x=3y\Rightarrow \frac{1}{3y+y}=6\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{4y}=6\Leftrightarrow$$ $$y=\frac{1}{24}$$ частей расстояния в час
Тогда время вверх по течению: $$\frac{1}{3y-y}=\frac{1}{2y}=\frac{1}{2*\frac{1}{24}}=12$$ часов
Задание 8631
Расстояние между двумя пристанями по реке равно 80 км. Катер прошёл от одной пристани до другой, сделал стоянку на 1 час 20 минут и вернулся обратно. Всё путешествие заняло $$10\frac{1}{3}$$ ч. Найдите скорость (в км/ч) течения реки, если скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч.
Задание 8826
Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Пусть скорость лодки х км/ч. Тогда скорость против течения будет х-5 км/ч. а по течению х+5 км/ч
По условию на обратный путь затрачено на 5 часов меньше, тогда: $$\frac{132}{x-5}-\frac{132}{x+5}=5$$
Приведем к общему знаменателю: $$\frac{132(x+5)-132(x-5)}{x^2-25}=5$$
Задание 8971
Моторная лодка прошла от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 16 км, сделала остановку на 40 минут и вернулась обратно через $$3\frac{2}{3}$$ ч после поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость моторной лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.
Задание 9922
Катер прошёл от одной станции к другой, расстояние между которыми по реке равно 48 км, сделал стоянку на 20 минут и вернулся обратно через $$5\frac{1}{3}$$ часа после начала поездки. Найдите скорость (в км/ч) течения реки, если известно, что скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч.
Задание 10464
Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 36 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Скорость плота соответствует скорости течения реки, следовательно, плот в движении был: $$\frac{36}{4}=9$$ часов. Лодка в движении была на час меньше, то есть 8 часов. Пусть x км/ч - собственная скорость лодки. Тогда скорость по течению x+4 км/ч, против течения: x-4 км/ч. Время движения по течению: $$\frac{126}{x+4}$$ часа, против: $$\frac{126}{x-4}$$, а в сумме дает 8 часов:
$$\frac{126}{x-4}+\frac{126}{x+4}=8|:2$$
$$\frac{63}{x-4}+\frac{63}{x+4}=4|\cdot (x-4)(x+4)$$
$$63x+63\cdot 4+63x+63\cdot 4=4x^{2}-64$$
$$4x^{2}-126x-64=0|:2$$
$$2x^{2}-63x-32=0$$
$$D=3969+4\cdot 2 \cdot 32=4225=65^{2}$$
$$x_{1}=\frac{63+65}{2\cdot 2}=32$$
$$x_{2}<0$$
