Неравенства

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(\frac{x+2}{8-x})^{2}\leq\frac{1}{16}$$

ОДЗ: $$8-1\neq0$$

$$x\neq8$$

$$\frac{x+2}{8-x}=y$$

$$y^{2}\leq\frac{1}{16}$$

$$y^{2}-(\frac{1}{4})^{2}\leq0$$

$$\left\{\begin{matrix}y\geq-\frac{1}{4}\\y\leq\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}\frac{x+2}{8-x}\geq-\frac{1}{4}\\\frac{x+2}{8-x}\leq\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$

1) $$\frac{x+2}{8-x}+\frac{1}{4}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{4x+8+8-x}{4(8-x)}\geq0$$

$$\frac{3x+16}{8-x}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$x\in[-\frac{16}{3};8)$$

2) $$\frac{x+2}{8-x}-\frac{1}{4}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{4x+8-8+x}{4(8-x)}\leq0$$

$$\frac{5x}{8-x}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$x\in(-\infty;0]\cup(8;+\infty)$$

Найдем пересечение ответов: $$x\in[-\frac{16}{3};0]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{8-4x}{x+1}>4+\frac{x+1}{x-2}$$; $$\frac{(8-4x)(x-2)-4(x+1)(x+2)-(x+1)(x+1)}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{8x-16-4x^{2}+8x-4x^{2}+8x-4x+8-x^{2}-2x-1}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{-9x^{2}+18x-9}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{-9(x-1)^{2}}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{(x-1)^{2}}{(x+1)(x-2)}<0$$;

$$x\in(-1;1)\cup(1;2)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

ОДЗ: $$1-x\neq0$$; $$\frac{x}{1-x}-\frac{(x-6)(1-x)}{1-x}\leq0$$; $$\frac{x-x+x^{2}+6-6x}{1-x}\leq0$$; $$\frac{x^{2}-6x+6}{1-x}\leq0$$; $$x^{2}-6x+6=0$$; $$D=36-24=12$$; $$x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

ОДЗ: $$4-x\neq 0 \Leftrightarrow x\neq 4$$

$$(\frac{x+1}{4-x})^{2}\leq\frac{1}{4}\Leftrightarrow $$$$(\frac{x+1}{4-x})^{2} - (\frac{1}{2})^{2}\leq 0\Leftrightarrow $$$$(\frac{x+1}{2(4-x)}-\frac{1}{2})(\frac{x+1}{2(4-x)}+\frac{1}{2})\leq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{2x+2-4+x}{2(4-x)}*\frac{2x+2+4-x}{2(4-x)}\leq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{3x-2}{2(4-x)}*\frac{x+6}{2(4-x)}\leq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{(3x-2)(x+6)}{4(4-x)^{2}}\leq 0\Leftrightarrow $$

Приравняем к нулю числитель и знаменатель, отметим полученные точки на координатной прямой, расставим знаки, которые принимает выражение слева от нуля ( неравенство не строгое, значит точки числителя будут закрашенные):

В итоге получаем решение: $$x \in [-6;\frac{2}{3}]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$x^{2}(-x^{2}-4)\leq4(-x^{2}-4)\Leftrightarrow$$$$x^{2}(-x^{2}-4)-4(-x^{2}-4)\leq0\Leftrightarrow$$$$(-x^{2}-4)(x^{2}-4)\leq0$$ $$(-x^{2}-4)$$ - однозначно меньше нуля, так как число $$-x^{2}$$ - отрицательное при всех х. Потому поделим обе части на данной выражение и поменяем знак неравенства на противоположный (так как делили на отрицательное число): $$(x^{2}-4)\geq0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x\leq -2\\ x\geq 2\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(x+2)^{3}-4(x+2)\geq0\Leftrightarrow$$$$(x+2)((x+2)^{2}-4)\geq0\Leftrightarrow$$$$(x+2)(x+2+2)(x+2-2)\geq0\Leftrightarrow$$$$(x+2)(x+4)x\geq0$$. То есть получили выражение $$f(x)=(x+2)(x+4)x$$

Отметим на координатной прямой в каких случаях выражение полученное равно нули, расставим знаки, которые оно принимает:

Нам необходимы те промежутки, где выражение положительное, то есть: $$x\in[-4;-2]\cup[0;+\infty)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{x^{2}+2x+10}{x-2} \geq -3\Leftrightarrow$$$$\frac{x^{2}+2x+10}{x-2}+3 \geq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x^{2}+2x+10}{x-2}+\frac{3(x-2)}{x-2} \geq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x^{2}+2x+10+3x-6}{x-2} \geq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x^{2}+5x+4}{x-2} \geq 0$$

Найдем при каких значениях x числитель дроби равен нулю и отметим эти значения (закрашенные, так как неравенство нестрогое), а так же значение, когда знаменатель равен нулю (пустое, так как мы должны исключить данное значение из ОДЗ) на координатной прямой и расставим знаки значений, которые принимает дробь на полученных промежутках:

Нам необходимо выбрать те промежутки, где дробь принимает положительные значения, а так же из данных промежутков найти сумму всех целых отрицательных значений: $$-4+(-3)+(-2)+(-1)=-10$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Область определения: $$x^{2}-|x|-2\neq 0\Leftrightarrow$$$$|x|\neq 2, |x|\neq -1\Leftrightarrow$$$$x\neq \pm 2$$

     Раскроем модуль:

1)   При $$x\geq 0 \Rightarrow$$ $$\frac{(x+2)(x+1)}{x^{2}-x-2} \leq -3x\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+2)(x-1)}{(x-2)(x+1)}\leq -3x\Leftrightarrow$$ $$\frac{x+2}{x-2}+3x\leq 0$$

     Рассматриваем числитель дроби, чтобы разбить его на множители: $$3x^{2}-5x+2=0$$

$$D=25-24=1$$

$$x_{1}=\frac{5+1}{6}=1$$

$$x_{2}=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3}$$

     Следовательно,$$\frac{(x-\frac{2}{3})(x+1)}{x-2}\leq 0$$

2)   При $$x<0 \Rightarrow$$$$\frac{(x+2)(x+1)}{x^{2}+x-2}\leq -3x\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+2)(x+1)}{(x+2)(x-1)}+3x\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x+1}{x-1}+3x\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x+1+3x^{2}-3x}{x-1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{3x^{2}-2x+1}{x-1}\leq 0$$

     Рассмотрим числитель полученной дроби:

$$3x^{2}-2x+1=0$$

$$D=4-12<0$$

     Следовательно, числитель данной дроби всегда положителен и не влияет на знак неравенства: $$\frac{1}{x-1}\leq 0$$

     С учетом обрасти опредеделения:

$$x \in (-\infty ;-2)\cup(-2;\frac{2}{3})\cup [1; 2)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Область определения D(y):

$$\left\{\begin{matrix}\frac{3x^{2}-2x-5}{x-2}\geq 0\\x-2\neq 0 & &\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим числитель дроби :$$3x^{2}-2x-5=0$$

$$D=4+60=64$$

$$x_{1}=\frac{2+8}{6}=\frac{5}{3}$$

$$x_{2}=\frac{2-8}{6}=-1$$

     Получаем :

$$\left\{\begin{matrix}\frac{(x-\frac{5}{3})(x+1)}{x-2}\geq 0\\x\neq 2\end{matrix}\right.$$

Тогда: $$x\in [-1 ;\frac{5}{3}]\cup (2;+\infty )$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\sqrt{x-\frac{8}{x-2}}\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x-2\neq 0\\x-\frac{8}{x-2}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq 2\\\frac{x^{2}-2x-8}{x-2}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq 2\\\frac{(x-4)(x+2)}{x-2}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x\geq 4\\\left\{\begin{matrix}x\leq 2\\x>-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(\frac{2x+1}{5-x})^{2}\leq \frac{1}{25}$$$$\Leftrightarrow$$ $$(\frac{2x+1}{5-x})^{2}-(\frac{1}{5})^{2}\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$(\frac{2x+1}{5-x}-\frac{1}{5})(\frac{2x+1}{5-x}+\frac{1}{5})\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{10x+5-5+x}{5(5-x)}*\frac{10x+5+5-x}{5(5-x)}\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{11x*(9x+10)}{25(5-x)^{2}}\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x(9x+10)\leq 0\\5-x\neq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$x \in [-\frac{10}{9};0]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$x\geq \frac{5x-14}{25}+\frac{3x-5}{20}-9\frac{4}{5}|*100\Leftrightarrow$$ $$100x\geq 20x-56+15x-25-975\Leftrightarrow$$$$100x-35x\geq -1056\Leftrightarrow$$$$65x\geq -1056\Leftrightarrow$$$$x\geq -\frac{1056}{65}\Leftrightarrow$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x^{2}-x+1}\leq \frac{1-2x}{x^{3}+1}$$

     ОДЗ: $$x^{3}+1\neq 0\Rightarrow x\neq -1$$

     Решение: $$\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x^{2}-x+1}-\frac{1-2x}{(x+1)(x^{2}-x+1)}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x^{2}-x+1-2x-2-1+2x}{x^{3}+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}-x-2}{x^{3}+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-2)(x+1)}{x^{3}+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x-2}{x^{2}-x+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x-2\leq 0\Rightarrow$$ $$x\leq 2$$

     С учетом ОДЗ: $$x \in (-\infty ; -1)\cup (-1; 2]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!